Una ecuación diferencial en la que uno o más términos son procesos estocásticos (señales aleatorias), de modo que las soluciones son procesos aleatorios; se escribe habitualmente en notación diferencial que incorpora integrales estocásticas (por ejemplo, impulsadas por movimiento browniano o ruido de Lévy).

Principio

La excitación aleatoria se representa mediante integrales estocásticas y debe interpretarse según una convención de integración elegida (por ejemplo, Itô o Stratonovich); esta elección afecta las reglas de cálculo, los términos de deriva y la relación entre la evolución de trayectorias y las densidades de probabilidad.

Demostración

La ecuación de Langevin para una partícula sometida a amortiguamiento viscoso y forzamiento por ruido blanco: la velocidad evoluciona con un término de arrastre determinista más un término proporcional a dW_t, donde W_t es movimiento browniano; las trayectorias son continuas pero no diferenciables y las estadísticas de conjunto satisfacen la ecuación de Fokker–Planck correspondiente.

Aplicación incorrecta

Tratar el término estocástico como una función ordinaria del tiempo y aplicar la regla de la cadena clásica, o no especificar la interpretación de la integral estocástica al transformar la ecuación.

Consecuencia

Una formulación correcta da lugar a flujos estocásticos bien definidos, propiedades de regularidad de las trayectorias y ecuaciones hacia adelante para las densidades de probabilidad; permite modelar sistemas influidos por ruido intrínseco o ambiental e informa sobre estimación estadística y control.

Inversión

Eliminar los términos estocásticos recupera una ecuación diferencial ordinaria determinista con trayectorias únicas para condiciones iniciales dadas; cambiar la interpretación (Itô ↔ Stratonovich) desplaza la deriva y las identidades de cálculo pero describe la misma familia de fenómenos físicos cuando se corrige adecuadamente.

Límite

Se aplica cuando la aleatoriedad puede modelarse como un semimartingala u otro proceso estocástico especificado; excluye situaciones donde el ruido tiene memoria larga incompatible con supuestos markovianos salvo que se amplíe la formulación, y excluye el uso indebido de la formalización de SDE para sistemas puramente discretos en tiempo o procesos de eventos discretos no estocásticos.

Tensión semántica

Existe tensión entre las interpretaciones Itô y Stratonovich y entre la conveniencia matemática (Itô para métodos de martingalas) y la correspondencia física (Stratonovich como límite de ruidos suaves).

Síntesis

Una SDE es la formulación diferencial de un sistema dinámico impulsado por entradas aleatorias, donde las integrales estocásticas y una elección explícita de interpretación conectan las fluctuaciones microscópicas con la evolución probabilística de observables macroscópicos.