Un résultat d'analyse fonctionnelle (théorème de Banach–Steinhaus) affirmant qu'une famille d'opérateurs linéaires continus sur un espace de Banach, qui est bornée point par point, est uniformément bornée en norme d'opérateur : la bornitude ponctuelle implique une borne globale.

Principe

On utilise le théorème de Baire sur le domaine de Banach pour promouvoir un contrôle pointuel (pour tout x, sup_T ||T x|| < ∞) en un contrôle uniforme (sup_T ||T|| < ∞), établissant la règle selon laquelle la complétude élève la borne locale en borne globale.

Démonstration

Soit X un espace de Banach et F une famille d'applications linéaires bornées X→Y vérifiant sup_{T∈F} ||T x|| < ∞ pour tout x ; le théorème de Baire donne un ouvert non vide sur lequel le sup sur F des normes ||T|| est fini, d'où une borne uniforme en norme d'opérateur.

Mauvaise application

Supposer la conclusion sans la complétude du domaine (Banach) est une mauvaise application fréquente ; il existe des familles pointuellement bornées sur des espaces incomplets dont les normes d'opérateur sont non bornées.

Conséquence

Écarte des exemples pathologiques où la bornitude pointuelle coexiste avec des normes d'opérateur arbitrairement grandes, sous-tend de nombreux arguments de convergence et de compacité et justifie certains échanges de limites en analyse fonctionnelle.

Inversion

Abandonner la complétude ou la linéarité renverse la conclusion : dans des espaces incomplets ou pour des applications non linéaires, la bornitude pointuelle n'implique pas nécessairement une borne uniforme, et des contre-exemples abondent.

Limite

Nécessite un domaine de Banach et des opérateurs linéaires continus ; l'espace cible peut n'être qu'un espace normé ; le théorème ne s'applique pas directement aux opérateurs non linéaires, aux convergences pointuelles de fonctions, ni aux familles dépourvues des hypothèses de mesurabilité quand celles-ci sont requises.

Tension sémantique

Tension avec des notions ponctuelles comme la convergence pointuelle : la bornitude pointuelle est plus faible et peut coexister avec des normes divergentes en l'absence de l'hypothèse de Banach ; le principe élève la finitude ponctuelle en contrôle uniforme seulement dans le cadre linéaire complet.

Synthèse

Le Principe De Borne Uniforme affirme que, dans un cadre linéaire complet, la bornitude locale en chaque point entraîne une borne globale sur les normes d'opérateur : complétude plus linéarité transforment la finitude ponctuelle des images en un majorant uniforme, évitant des non-bornitudes cachées.