Un resultado de análisis funcional (teorema de Banach–Steinhaus) que establece que una familia de operadores lineales continuos sobre un espacio de Banach que es acotada punto por punto está acotada de forma uniforme en norma de operador: la acotación puntual implica una cota suprema global.

Principio

Aplicar la categoría de Baire en el dominio de Banach para promover el control puntual (para cada x, sup_T ||T x|| < ∞) a control uniforme (sup_T ||T|| < ∞), de modo que la completitud eleve la acotación local a una acotación global.

Demostración

Sea X un espacio de Banach y F una familia de aplicaciones lineales acotadas X→Y con sup_{T∈F} ||T x|| < ∞ para todo x; el teorema de Baire produce un abierto no vacío donde el supremo sobre F de ||T|| es finito, y por tanto se obtiene una cota uniforme de la norma de operador.

Aplicación incorrecta

Suponer la conclusión sin la hipótesis de completitud del dominio (Banach) es un mal uso habitual; existen familias acotadas punto por punto en espacios incompletos cuyas normas de operador son no acotadas.

Consecuencia

Impide ejemplos patológicos en los que la acotación puntual coexiste con normas de operador arbitrariamente grandes, fundamenta muchos argumentos de convergencia y compacidad y justifica intercambios de límites en contextos funcionales.

Inversión

Si se abandona la completitud o la linealidad, la conclusión se revierte: en espacios incompletos o para aplicaciones no lineales, la acotación puntual no implica necesariamente una cota uniforme y los contraejemplos son habituales.

Límite

Requiere un dominio de Banach y operadores lineales continuos; el espacio objetivo puede ser sólo normado; el teorema no se aplica directamente a operadores no lineales, a convergencias puntuales sin más estructura o a familias carentes de las hipótesis de mesurabilidad cuando sean necesarias.

Tensión semántica

Existe tensión con nociones puntuales como la convergencia puntual: la acotación puntual es más débil y puede coexistir con normas divergentes en ausencia del supuesto de Banach; el principio eleva la finitud puntual a control uniforme únicamente en el marco lineal y completo.

Síntesis

El Principio De Acotación Uniforme afirma que, en un marco lineal completo, la acotación local en cada punto conduce a una cota global sobre las normas de operador: completitud más linealidad convierten la finitud puntual de las imágenes en un supremo uniforme de las normas de operador, evitando indetectables no acotaciones.