Condition de croissance inférieure sur une forme bilinéaire a(·,·) ou un opérateur qui affirme a(u,u) ≥ c ||u||^2 pour tout u de l'espace (avec c>0), assurant le contrôle de la norme de la solution et souvent l'unicité et la stabilité dans des problèmes variationnels.

Principe

La coercivité impose un contrôle quadratique positif : la forme bilinéaire domine le carré de la norme et empêche une énergie arbitrairement petite pour des éléments non nuls, permettant ainsi l'inversibilité ou des estimations a priori.

Démonstration

Pour l'énergie de Dirichlet a(u,v)=∫_Ω ∇u·∇v + α uv avec α≥0 et conditions aux limites adaptées, l'inégalité de Poincaré donne a(u,u) ≥ c||u||_{H^1_0}^2, montrant la coercivité et donc l'existence et l'unicité via Lax–Milgram.

Mauvaise application

Supposer la coercivité à partir d'une simple positivité ponctuelle ou d'une majoration ; ou croire à la coercivité sur tout l'espace alors que la forme n'est coercitive que sur un quotient (par ex. modulo le noyau) ou sur un sous-espace restreint.

Conséquence

La coercivité correcte fournit des estimations de stabilité, l'unicité des solutions variationnelles, l'inversibilité bornée des opérateurs et la robustesse face aux perturbations ; elle rend les normes d'énergie équivalentes à la norme naturelle.

Inversion

L'absence de coercivité permet l'existence de suites d'énergie tendant vers zéro mais de norme non nulle, conduisant à la non-unicité, au mauvais conditionnement ou à la nécessité de conditions alternatives comme l'inf-sup (Babuška) ou une régularisation.

Limite

S'applique à des formes bilinéaires sur des espaces normés ou de Hilbert avec une norme choisie ; la constante de coercivité et la norme doivent être précisées. Diffère de la positivité définie si la forme n'est que semi-définie ou si la topologie diffère de l'énergie.

Tension sémantique

La coercivité est souvent confondue avec l'ellipticité, la definitude positive ou l'uniforme bornitude ; la tension porte sur le fait que la domination soit globale, sur des sous-espaces ou seulement asymptotique.

Synthèse

La coercivité est la borne inférieure quantitative d'une forme d'énergie qui contrôle les normes, permettant existence, unicité et stabilité dans les formulations variationnelles lorsqu'elle est associée à la bornitude.