Definición
Condición de crecimiento inferior sobre una forma bilineal a(·,·) u operador que afirma a(u,u) ≥ c ||u||^2 para todo u en el espacio (con c>0), proporcionando control de la norma de la solución y garantizando a menudo unicidad y estabilidad en problemas variacionales.
Principio
Principio
La coercividad impone un control cuadrático positivo: la forma bilineal domina el cuadrado de la norma y evita energías arbitrariamente pequeñas para elementos no nulos, lo que permite la invertibilidad o estimaciones a priori.
Demostración
Demostración
Para la energía de Dirichlet a(u,v)=∫_Ω ∇u·∇v + α uv con α≥0 y condiciones de contorno adecuadas, la desigualdad de Poincaré da a(u,u) ≥ c||u||_{H^1_0}^2, mostrando coercividad y por tanto existencia y unicidad vía Lax–Milgram.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Suponer coercividad a partir de mera positividad puntual o acotamiento; o creer que la forma es coerciva en todo el espacio cuando lo es solo en un cociente (p. ej., módulo del núcleo) o en un subespacio restringido.
Consecuencia
Consecuencia
La coercividad correcta proporciona estimaciones de estabilidad, unicidad de soluciones variacionales, inversas acotadas y robustez frente a perturbaciones; hace que las normas de energía sean equivalentes a la norma natural.
Inversión
Inversión
La falta de coercividad permite secuencias con energía que tiende a cero pero norma no nula, conduciendo a no unicidad, mal condicionamiento o la necesidad de condiciones alternativas como inf-sup (Babuška) o regularización.
Límite
Límite
Se aplica a formas bilineales en espacios normados o de Hilbert con una norma elegida; la constante de coercividad y la norma deben especificarse. Difiere de la positividad definida cuando la forma es solo semidefinida o la topología difiere de la de energía.
Tensión semántica
Tensión semántica
La coercividad a menudo se confunde con la elipticidad, la positividad definida o la acotación uniforme; la tensión reside en si la dominación es global, en subespacios o solo asintótica.
Síntesis
Síntesis
La coercividad es la cota inferior cuantitativa de una forma de energía que controla normas y, combinada con la acotación, permite resultados de existencia, unicidad y estabilidad en formulaciones variacionales.