Sous-ensemble de valeurs de paramètres (typiquement pas de temps ou paramètres complexes de test) pour lesquelles un algorithme numérique produit des itérés bornés ou contrôlés, c’est‑à‑dire n’amplifie pas les erreurs ni ne provoque de croissance non bornée lorsqu’il est appliqué à des problèmes de test canoniques.

Principe

Le facteur d’amplification ou le polynôme de stabilité d’une méthode évalué sur une équation de test linéaire canonique (p. ex. y' = λy) définit la région du plan complexe en z = λh où le module du facteur d’amplification ≤ 1 ; l’appartenance à cette région assure la bornitude pour le problème de test.

Démonstration

Pour Euler explicite appliqué à y' = λy, la région de stabilité est le disque {z : |1+z| < 1} avec z = hλ ; Euler implicite possède la demi‑plan gauche entier comme région de stabilité, ce qui explique son intérêt pour les problèmes raides.

Mauvaise application

Utiliser la région de stabilité d’une méthode, calculée sur des équations de test linéaires, comme garantie générale pour tous les problèmes non linéaires ou pour l’exactitude (plutôt que pour la bornitude) est une mauvaise application.

Conséquence

Choisir des pas de temps ou paramètres à l’intérieur de la région de stabilité évite la croissance numérique des erreurs pour les dynamiques correspondantes et oriente le choix des méthodes (p. ex. les méthodes A‑stables pour les problèmes raides).

Inversion

La région d’instabilité est le complément où les facteurs d’amplification dépassent l’unité et où les itérés peuvent croître sans borne, provoquant un effondrement numérique même si l’erreur locale de troncature est petite.

Limite

Les régions de stabilité sont définies par rapport à des problèmes de test, des normes et des classes de problèmes spécifiques ; elles n’assurent ni convergence ni précision sur des systèmes non linéaires quelconques et peuvent dépendre de détails d’implémentation comme le contrôle du pas variable.

Tension sémantique

Il existe une tension avec les notions de convergence et d’exactitude : une méthode peut être stable (bornée) mais inexacte, et une petite région de stabilité suffit si les dynamiques se situent à l’intérieur ; la raideur interagit avec la taille et la forme de la région.

Synthèse

La région de stabilité condense le comportement de bornitude d’une méthode numérique en un critère sur les paramètres : elle identifie les combinaisons pas‑taille–spectre admissibles pour lesquelles les itérés restent contrôlés et oriente le choix de la méthode et du pas.