Subconjunto de valores de parámetros (habitualmente pasos de tiempo o parámetros complejos de prueba) para los cuales un algoritmo numérico produce iterados acotados o controlados, es decir, no amplifica errores ni provoca crecimiento no acotado cuando se aplica a problemas de prueba canónicos.

Principio

El factor de amplificación o el polinomio de estabilidad de un método evaluado en la ecuación de prueba lineal canónica (p. ej. y' = λy) define la región en el plano complejo z = λh donde el módulo del factor de amplificación ≤ 1; la pertenencia a esa región asegura la acotación para el problema de prueba.

Demostración

Para Euler explícito aplicado a y' = λy la región de estabilidad es el disco {z : |1+z| < 1} con z = hλ; Euler implícito tiene como región de estabilidad todo el semiplano izquierdo, lo que explica su idoneidad para problemas rígidos.

Aplicación incorrecta

Usar la región de estabilidad de un método, calculada en ecuaciones de prueba lineales, como garantía global para todos los problemas no lineales o para la precisión (en lugar de la acotación) es un uso indebido.

Consecuencia

Elegir tamaños de paso o parámetros dentro de la región de estabilidad evita el crecimiento numérico de errores para las dinámicas correspondientes y guía la selección del método (p. ej. métodos A‑estables para problemas rígidos).

Inversión

La región de inestabilidad es el complemento donde los factores de amplificación superan la unidad y los iterados pueden crecer sin límite, causando colapso numérico incluso si el error local de truncamiento es pequeño.

Límite

Las regiones de estabilidad se definen respecto a problemas de prueba, normas y clases de problemas específicas; no garantizan convergencia ni precisión en sistemas no lineales arbitrarios y pueden depender de detalles de implementación como el control de paso variable.

Tensión semántica

Existe tensión con nociones de convergencia y precisión: un método puede ser estable (acotado) pero inexacto, y una región de estabilidad pequeña puede bastar si las dinámicas están dentro; la rigidez interactúa con el tamaño y la forma de la región.

Síntesis

La región de estabilidad condensa el comportamiento de acotación de un método numérico en un criterio sobre parámetros: identifica combinaciones paso‑espectro admisibles para las que los iterados numéricos permanecen controlados e informa la elección del método y del paso.