Procédure de calcul des gradients ou sensibilités d'une sortie scalaire (ou d'un fonctionnel) par rapport aux entrées, paramètres ou données initiales/bornes en résolvant une équation adjointe associée qui s'exécute en temps inverse ou utilise la transposée des opérateurs linéarisés.

Principe

Exploiter la linéarité (ou des approximations linéarisées) et la dualité pour transférer les dérivées de nombreuses directions d'entrée vers une seule résolution adjointe, rendant le coût du calcul de sensibilités approximativement indépendant du nombre d'entrées lorsque les sorties sont peu nombreuses.

Démonstration

Calculer le gradient d'un coefficient de traînée par rapport à des milliers de paramètres de forme discrétisés de la frontière en résolvant une unique EDP adjointe associée au fonctionnel de traînée, au lieu de calculer des différences finies pour chaque paramètre.

Mauvaise application

Employer l'adjoint sans linéariser correctement un solveur fortement non linéaire ou en ignorant la dépendance d'état des conditions aux limites, ce qui produit des sensibilités incorrectes et peut induire des optimisations erronées.

Conséquence

Une utilisation correcte fournit des gradients très efficaces et précis pour l'optimisation de conception, le contrôle et l'estimation de paramètres, rendant possibles des problèmes inverses ou de contrôle optimaux à grande échelle impossibles avec des méthodes naïves.

Inversion

L'approche directe de sensibilité calcule les dérivées en perturbant chaque entrée indépendamment (méthodes en avant ou différences finies), entraînant un coût proportionnel au nombre d'entrées plutôt qu'au nombre de sorties.

Limite

Valable lorsque les équations adjointes existent et peuvent être dérivées (conditions de différentiabilité satisfaites) ; des limites surviennent pour des modèles non différentiables, des systèmes stochastiques sans adjoints trajectoires-par-trajectoire, ou lorsque le stockage/mémoire pour rejouer l'état en temps inverse est prohibitif sauf si des techniques de checkpointing sont utilisées.

Tension sémantique

Se place en tension avec la différenciation automatique et les méthodes par ensemble : les méthodes adjointes sont dérivées analytiquement ou discrètement et efficaces pour peu de sorties, tandis que la DA peut automatiser la génération des dérivées et les ensembles capturent des effets non linéaires non locaux à coût supérieur.

Synthèse

La méthode adjointe est le calcul dual qui concentre de nombreuses évaluations directionnelles de dérivées en une seule résolution vers l'arrière, fournissant une information de sensibilité évolutive lorsque les sorties sont limitées et que le modèle admet une formulation adjointe adéquate.