Une procédure itérative qui cherche un point fixe x = G(x) d'un opérateur G en appliquant G à plusieurs reprises à une estimation initiale : x_{k+1} = G(x_k). La convergence dépend de la contractivité ou de propriétés analogues de G.

Principe

L'idée organisatrice est de reformuler le problème comme la recherche d'un point auto-consistant d'une application puis d'utiliser l'application répétée de cette application ; le théorème du point fixe de Banach donne une condition suffisante simple (contraction) garantissant point fixe unique et convergence linéaire.

Démonstration

Résoudre x = cos(x) en itérant x_{k+1} = cos(x_k) à partir de x_0 ; comme cos est une contraction sur [0,1], les itérés convergent vers le point fixe unique ≈0,739085, illustrant l'itération de Picard pour une équation non linéaire scalaire.

Mauvaise application

Appliquer l'itération de point fixe naïve à une application ayant une constante de Lipschitz ≥1 ou sans préconditionnement approprié peut échouer à converger ou converger très lentement ; choisir une mauvaise reformulation G(x) de f(x)=0 peut empêcher tout progrès.

Conséquence

Quand l'application est contractante ou convenablement amortie, l'itération de point fixe fournit un solveur simple et robuste avec convergence linéaire prévisible et faible coût par itération ; elle est à la base de nombreux schémas itératifs dont la linéarisation de Picard pour les EDP.

Inversion

Le contraste est avec la linéarisation de Newton : au lieu d'appliquer répétitivement l'application d'origine, Newton résout des corrections linéarisées offrant une convergence locale potentiellement plus rapide (superlinéaire ou quadratique) au prix de la résolution de systèmes linéaires.

Limite

Applicable lorsqu'on peut construire une application G dont les points fixes sont équivalents au problème initial et qui possède des propriétés contractantes ou moyennées ; exclut les applications non continues ou les problèmes où seule une convergence rapide basée sur des dérivées est acceptable.

Tension sémantique

Tension avec Newton et les méthodes quasi-Newton : l'itération de point fixe est moins coûteuse et plus simple, mais plus lente ; il existe aussi une tension avec les variantes accélérées ou multi-étapes qui ajoutent mémoire ou mélange pour améliorer la convergence.

Synthèse

L'itération de point fixe reformule un problème comme x = G(x) et applique G de manière répétée, en s'appuyant sur la contractivité ou l'amortissement pour la convergence ; elle est conceptuellement simple, à faible coût par itération et sert de base à de nombreux algorithmes de linéarisation et de décomposition, mais sa vitesse dépend fortement des propriétés de l'opérateur.