Ein iteratives Verfahren, das einen Fixpunkt x = G(x) einer Abbildung G sucht, indem G wiederholt auf eine Anfangsnäherung angewandt wird: x_{k+1} = G(x_k). Die Konvergenz hängt von Contractivity- bzw. ähnlichen Eigenschaften von G ab.

Prinzip

Die ordnende Idee ist, das Problem als Suche nach einem selbstkonsistenten Punkt einer Abbildung umzuformulieren und dann die Abbildung wiederholt anzuwenden; der Banach-Fixpunktsatz liefert eine einfache hinreichende Bedingung (Kontraktion), die eindeutigen Fixpunkt und lineare Konvergenz garantiert.

Demonstration

Löse x = cos(x) durch Iteration x_{k+1} = cos(x_k) mit Startwert x_0; da cos auf [0,1] eine Kontraktion ist, konvergieren die Iterierten zum eindeutigen Fixpunkt ≈0,739085, ein einfaches Beispiel für Picard-Iteration bei skalaren nichtlinearen Gleichungen.

Fehlanwendung

Die naiven Fixpunktiteration auf eine Abbildung mit Lipschitz-Konstante ≥1 oder ohne geeignete Vorbedingung anzuwenden kann zur Nichtkonvergenz oder sehr langsamer Konvergenz führen; eine schlechte Umformulierung G(x) von f(x)=0 kann jeden Fortschritt verhindern.

Konsequenz

Ist die Abbildung kontraktiv oder geeignet gedämpft, liefert die Fixpunktiteration einen einfachen und robusten Löser mit vorhersagbarer linearer Konvergenz und geringem Aufwand pro Iteration; sie bildet die Grundlage vieler iterativer Verfahren einschließlich Picard-Liniearisierung für PDEs.

Umkehrung

Der Gegensatz ist die Newton-Liniearisierung: statt die ursprüngliche Abbildung wiederholt anzuwenden, löst Newton linearisierte Korrekturen und ermöglicht damit lokal deutlich schnellere Konvergenz (superlinear oder quadratisch) auf Kosten der Lösung linearer Systeme.

Abgrenzung

Anwendbar, wenn sich eine Abbildung G konstruieren lässt, deren Fixpunkte dem Ausgangsproblem entsprechen und die kontraktive oder gemittelte Eigenschaften besitzt; schließt nichtstetige Abbildungen oder Probleme aus, bei denen nur die auf Ableitungen basierende schnelle Konvergenz akzeptabel ist.

Semantische Spannung

Spannung zu Newton- und Quasi-Newton-Methoden: Fixpunktiteration ist günstiger und einfacher, jedoch langsamer; zudem besteht Spannung zu beschleunigten oder mehrstufigen Fixpunktverfahren, die Speicher oder Mischungen einsetzen, um Konvergenz zu verbessern.

Synthese

Fixpunktiteration formt ein Problem zu x = G(x) um und wendet G wiederholt an, wobei Kontraktivität oder Dämpfung die Konvergenz sichern; sie ist konzeptionell einfach, hat geringen Aufwand pro Schritt und ist Fundament vieler Linearisierungs- und Splittingverfahren, ihre Geschwindigkeit hängt jedoch entscheidend von den Eigenschaften der Abbildung ab.