Une formulation dans laquelle la solution d'un problème est caractérisée comme un extremum (minimum, maximum ou point stationnaire) d'un fonctionnel intégral ; utilisée pour obtenir des formulations faibles ou énergétiques d'équations différentielles.

Principe

L'idée organisatrice est que les états physiques ou mathématiques satisfont la condition de stationnarité d'une action ou d'une énergie, de sorte que les conditions d'Euler–Lagrange ou les inégalités variationnelles équivalentes codent les équations gouvernantes.

Démonstration

On obtient l'équation de Poisson −Δu = f avec conditions de Dirichlet en extrémisant l'énergie de Dirichlet E[v] = 1/2 ∫ |∇v|^2 − ∫ fv ; l'équation d'Euler–Lagrange de E est la forme faible du problème de Poisson.

Mauvaise application

Appliquer un principe variationnel quand le fonctionnel proposé n'est pas coercitif ou pas différentiable peut engendrer des points stationnaires inexistants ou spurious ; employer une formulation énergétique pour une EDP fondamentalement non variationnelle donne des résultats inconsistants.

Conséquence

Lorsque applicable, le principe variationnel fournit des formulations faibles adaptées à la théorie d'existence et d'unicité et aux discrétisations de Galerkin (éléments finis), et il fournit souvent une norme d'erreur ou d'énergie naturelle.

Inversion

La vue inverse impose les équations gouvernantes ponctuellement (forme forte) sans référence à un fonctionnel extremal ; certaines EDP admettent une forme forte mais n'ont pas de principe variationnel associé.

Limite

S'applique seulement lorsqu'un fonctionnel intégral approprié existe et est suffisamment régulier (différentiable, coercitif ou convexe). Exclut les lois de conservation purement hyperboliques sans functional d'action et les situations à contraintes non lisses à moins d'une reformulation.

Tension sémantique

Concurrence avec les formulations par résidu direct et les approches moindres carrés : toutes minimisent une mesure, mais les principes variationnels insistent sur la stationnarité d'une énergie motivée physiquement plutôt que sur des normes de résidu arbitraires.

Synthèse

Le principe variationnel unifie équations différentielles et optimisation : on identifie ou construit une énergie/action dont les conditions de stationnarité reproduisent les équations gouvernantes, permettant ainsi des formulations faibles, une analyse énergétique et des méthodes numériques basées sur l'énergie.