Formulación en la que la solución de un problema se caracteriza como un extremo (mínimo, máximo o punto estacionario) de un funcional integral; empleada a menudo para obtener formulaciones débiles o energéticas de ecuaciones diferenciales.

Principio

La regla organizadora es que los estados físicos o matemáticos satisfacen la estacionariedad de una acción o energía, de modo que las condiciones de Euler–Lagrange o las desigualdades variacionales equivalentes codifican las ecuaciones gobernantes.

Demostración

Se deriva la ecuación de Poisson −Δu = f con condiciones de Dirichlet extremizando la energía de Dirichlet E[v] = 1/2 ∫ |∇v|^2 − ∫ fv; la ecuación de Euler–Lagrange de E corresponde a la forma débil del problema de Poisson.

Aplicación incorrecta

Aplicar un principio variacional cuando el funcional propuesto no es coercitivo o no es diferenciable puede producir puntos estacionarios inexistentes o espurios; usar una formulación energética para una EDP no variacional conduce a resultados inconsistentes.

Consecuencia

Cuando es aplicable, el principio variacional proporciona formulaciones débiles adecuadas para teoría de existencia y unicidad y para discretizaciones de Galerkin (elementos finitos), y suele ofrecer una norma de energía o error natural.

Inversión

La inversión impone las ecuaciones gobernantes puntualmente (forma fuerte) sin referencia a un funcional extremal; algunas EDP tienen formulación fuerte pero no cuentan con un principio variacional asociado.

Límite

Se aplica solo cuando existe un funcional integral apropiado y es suficientemente regular (diferenciable, coercitivo o convexo). Excluye leyes de conservación puramente hiperbólicas sin acción y situaciones con restricciones no suaves salvo que se reformulen.

Tensión semántica

Compite con formulaciones de residuo directo y enfoques de mínimos cuadrados: todas minimizan alguna medida, pero los principios variacionales enfatizan la estacionariedad de una energía motivada físicamente más que normas de residuo arbitrarias.

Síntesis

El principio variacional unifica ecuaciones diferenciales y optimización: identificar o construir una energía/acción cuyas condiciones de estacionariedad reproduzcan las ecuaciones gobernantes, habilitando formulaciones débiles, análisis energético y métodos numéricos basados en la energía.