Un noyau G(x,s) représentant la réponse d'un opérateur différentiel linéaire L à une source ponctuelle (distribution δ) située en s, de sorte que L[G(·,s)]=δ(·−s). Il sert à construire des solutions particulières de problèmes aux limites linéaires inhomogènes par convolution ou intégration contre le terme source.

Principe

Principe de superposition pour opérateurs linéaires : comme L est linéaire, la réponse à une source générale f(x) s'exprime comme l'intégrale du noyau de Green contre f, donnant u(x)=∫G(x,s)f(s)ds, complétée par les solutions homogènes imposées par les conditions aux limites.

Démonstration

Résolution de l'équation de Poisson −Δu=f dans R^n : la solution fondamentale pour −Δ fournit un noyau tel que u est la convolution de f avec ce noyau ; dans un domaine borné on adapte le noyau pour satisfaire les conditions aux limites et on obtient u(x)=∫_Ω G(x,s)f(s)ds.

Mauvaise application

Employer une fonction de Green dérivée pour un opérateur différent ou pour l'espace libre sans tenir compte des conditions aux limites ni des coefficients de l'opérateur ; appliquer la formule de superposition à une EDP non linéaire dépendant de u.

Conséquence

Bien identifiée et combinée avec la solution homogène, la fonction de Green transforme une EDP inhomogène en une représentation intégrale explicite ; elle révèle l'influence des sources localisées et facilite le calcul analytique et numérique des solutions.

Inversion

Plutôt que de représenter la réponse à une impulsion ponctuelle (impulsion→réponse), le problème inverse consiste à déduire la distribution des sources à partir de réponses observées ; inverser la relation intégrale conduit à la reconstruction des sources plutôt qu'à la représentation directe par Green.

Limite

S'applique uniquement aux opérateurs linéaires (éventuellement en distribution) et requiert généralement des conditions aux limites ; elle n'existe pas ou n'est pas utile pour des opérateurs non linéaires génériques ou lorsqu'aucune solution fondamentale satisfaisant les conditions physiques ne peut être trouvée.

Tension sémantique

Fonction de Green comme solution fondamentale distributionnelle versus noyau adapté aux conditions aux limites : la première est l'inverse universel en espace libre, la seconde est une construction spécifique au problème qui impose les frontières ; ces deux sens entrent en tension terminologique.

Synthèse

La fonction de Green est le noyau de l'inverse d'un opérateur linéaire en EDP : elle encode la réponse à une source ponctuelle et, par superposition et intégration, produit des solutions particulières compatibles avec l'opérateur et les conditions aux limites.