Una función núcleo G(x,s) que representa la respuesta de un operador diferencial lineal L a una fuente puntual (distribución delta) situada en s, tal que L[G(·,s)]=δ(·−s); se utiliza para construir soluciones particulares de problemas de valor en la frontera lineales inhomogéneos mediante convolución o integración frente a términos fuente.

Principio

Principio de superposición para operadores lineales: puesto que L es lineal, la respuesta a una fuente general f(x) puede representarse como la integral del núcleo de Green contra f, dando la solución u(x)=∫G(x,s)f(s)ds más las soluciones homogéneas impuestas por las condiciones de contorno.

Demostración

Resolución de la ecuación de Poisson −Δu=f en R^n: la solución fundamental (función de Green) para −Δ da u como la convolución de f con el núcleo de Green; en dominios acotados se modifica el núcleo para satisfacer las condiciones de contorno y se obtiene u(x)=∫_Ω G(x,s)f(s)ds.

Aplicación incorrecta

Usar una función de Green derivada para otro operador o para el espacio libre sin ajustar las condiciones de contorno o los coeficientes del operador; aplicar la fórmula de superposición a una EDP no lineal cuyo operador depende de u.

Consecuencia

Cuando se identifica correctamente y se combina con la solución homogénea, la función de Green convierte una EDP inhomogénea en una representación integral explícita; aclara la influencia de fuentes localizadas y facilita el cálculo analítico y numérico de soluciones.

Inversión

En lugar de representar la respuesta a una fuente puntual (impulso→respuesta), el problema inverso plantea determinar la distribución de fuentes dada la respuesta observada; invertir la relación integral conduce a la reconstrucción de las fuentes en lugar de la representación directa por Green.

Límite

Se aplica solo a operadores diferenciales lineales (posiblemente en el sentido de distribuciones) y normalmente requiere condiciones de contorno; no existe o no es útil para operadores no lineales genéricos o cuando no se puede encontrar una solución fundamental que satisfaga las condiciones físicas.

Tensión semántica

Función de Green como solución fundamental en sentido distribucional frente a núcleo adaptado a condiciones de contorno: la primera es el inverso universal del operador en espacio libre, la segunda es una construcción específica del problema que impone fronteras; ambos sentidos compiten en el uso del término.

Síntesis

Una función de Green es el núcleo del inverso de un operador lineal en EDP: encapsula la respuesta a una fuente puntual y, mediante superposición e integración, produce soluciones particulares compatibles con el operador y las condiciones de contorno.