Un espace topologique qui est localement homéomorphe à un espace euclidien de dimension fixe, doté éventuellement d'une structure supplémentaire (lisse, différentiable, riemannienne) pour permettre le calcul différentiel et les constructions géométriques.

Principe

Structure euclidienne locale : la forme globale se construit à partir de cartes locales recouvrantes (un atlas) de sorte que les opérations locales reproduisent celles de R^n tandis que les applications de transition traduisent la topologie et la géométrie globales.

Démonstration

La sphère à deux dimensions utilisée comme espace de configurations des directions : chaque carte locale ressemble à un ouvert de R^2, ce qui permet de définir les vecteurs tangents et les gradients bien que la sphère entière ne soit pas un plan.

Mauvaise application

Traiter une variété comme un espace vectoriel globalement (par exemple additionner des points arbitraires comme des vecteurs) ou supposer l'existence de coordonnées globales sans vérifier les applications de transition, entraînant des opérations invalides comme la soustraction de points distants hors d'une carte.

Conséquence

Bien identifiée, une variété admet des cartes, des espaces tangents, des formes différentielles et des flux ; cela permet de définir dérivées, intégrales, géodésiques et d'appliquer des équations différentielles sur le domaine.

Inversion

Un espace discret ou fractal dépourvu de voisinages euclidiens locaux (par exemple un graphe combinatoire ou l'ensemble de Cantor) — inverser le concept de variété donne des espaces où le calcul différentiel standard échoue.

Limite

S'applique aux espaces localement euclidiens d'une dimension fixe ; exclut les espaces singuliers, les orbifolds sans points de variété et les ensembles ayant des points dépourvus de voisinages euclidiens. Les variétés à bord sont admises mais la structure du bord doit être précisée.

Tension sémantique

Tension entre « variété » et termes voisins : espace topologique (plus faible, sans structure différentiable), variété algébrique (structure algébrique supplémentaire) et espace métrique (ajoute une distance mais pas nécessairement des cartes lisses).

Synthèse

La variété est le dispositif formel qui permet d'étendre le calcul euclidien local à un domaine globalement courbé en recouvrant l'espace par des cartes compatibles et en utilisant des applications de transition pour harmoniser les calculs locaux.