Un espacio topológico que es localmente homeomorfo a un espacio euclidiano de dimensión fija, provisto cuando hace falta de estructura adicional (suave, diferenciable, riemanniana) para soportar cálculo y construcciones geométricas.

Principio

Estructura euclidiana local: la forma global se ensambla a partir de cartas de coordenadas que se solapan (un atlas) de modo que las operaciones locales imitan las de R^n, mientras que las aplicaciones de transición codifican la topología y geometría globales.

Demostración

La esfera de dimensión 2 como espacio de configuraciones de direcciones: cada parche local se parece a un subconjunto abierto de R^2, permitiendo definir espacios tangentes y gradientes aunque la esfera entera no sea un plano.

Aplicación incorrecta

Tratar una variedad como un espacio vectorial globalmente (por ejemplo, sumar puntos arbitrarios como si fueran vectores) o asumir coordenadas globales sin comprobar las aplicaciones de transición, lo que conduce a operaciones inválidas como restar puntos lejanos fuera de una carta.

Consecuencia

Cuando se identifica correctamente, una variedad admite cartas, espacios tangentes, formas diferenciales y flujos; esto permite definir derivadas, integrales, geodésicas y aplicar ecuaciones diferenciales en el dominio.

Inversión

Un espacio discreto o fractal que carece de vecindarios euclidianos locales (por ejemplo, un grafo combinatorio o el conjunto de Cantor): invertir el concepto de variedad produce espacios donde el cálculo diferencial estándar falla.

Límite

Se aplica a espacios localmente euclidianos de dimensión fija; excluye espacios singulares, orbifolds sin puntos de variedad y conjuntos con puntos sin vecindarios euclidianos. Se admiten variedades con borde pero la estructura del borde debe indicarse explícitamente.

Tensión semántica

Existe tensión entre 'variedad' y términos cercanos: espacio topológico (más débil, sin estructura diferenciable), variedad algebraica (estructura algebraica adicional) y espacio métrico (añade distancia pero no necesariamente cartas suaves).

Síntesis

Una variedad es el dispositivo formal que permite llevar el cálculo euclidiano local a un dominio globalmente curvado cubriendo el espacio con cartas compatibles y usando aplicaciones de transición para conciliar los cálculos locales.