El estudio formal de las propiedades de los sistemas lógicos considerados como objetos: su sintaxis, semántica, transformaciones de prueba, decidibilidad, completitud, compacidad y otros teoremas metalógicos formulados sobre sistemas enteros en lugar de fórmulas individuales.

Principio

Tratar los cálculos lógicos como objetos formales y enunciar reglas y límites generales sobre relaciones de consecuencia, derivabilidad, teoría de modelos y las relaciones entre caracterizaciones sintácticas y semánticas.

Demostración

Demostrar el teorema de completitud para la lógica de primer orden (mostrar que toda fórmula válida semánticamente es derivable sintácticamente) y derivar la indecidibilidad de la validez en lógica de primer orden son demostraciones metalógicas típicas.

Aplicación incorrecta

Confundir una afirmación de nivel objeto con un enunciado metalógico (por ejemplo, leer un metateorema que cuantifica sobre teorías como si fuera una prueba dentro de una teoría fija) o aplicar un resultado modelo-teórico a una derivación sintáctica sin comprobar la representabilidad.

Consecuencia

Aclara lo que puede y no puede demostrarse dentro de sistemas dados, permite la transferencia de resultados entre lógicas y produce límites de principio (indecidibilidad, incompletitud, completitud) que guían el diseño y uso de sistemas formales.

Inversión

En vez de razonar sobre lógicas como objetos, tratar una lógica únicamente como un cálculo de nivel objeto cuyos hechos relevantes son solo las derivaciones de fórmulas individuales y las evaluaciones semánticas en un modelo fijo.

Límite

Se centra en las propiedades formales de los sistemas lógicos y excluye relatos empíricos, psicológicos o filosóficos informales del razonamiento; se aplica principalmente a cálculos formalmente especificados y sus semánticas, no a la argumentación informal.

Tensión semántica

Existe tensión entre los enfoques sintácticos (teoría de pruebas) y semánticos (teoría de modelos): algunos resultados dependen de la perspectiva (demostrabilidad vs validez) y su traducción exige supuestos de representación y corrección.

Síntesis

La metalógica une de forma coherente el estudio de la sintaxis, la semántica y las reglas de transformación para producir teoremas generales sobre sistemas lógicos completos, revelando tanto capacidades (completitud, decidibilidad) como límites (indecidibilidad, incompletitud).