Die formale Untersuchung der Eigenschaften logischer Systeme als Untersuchungsobjekte: deren Syntax, Semantik, Beweisumformungen, Entscheidbarkeit, Vollständigkeit, Kompaktheit und weitere metalogische Sätze, die über ganze Systeme statt über einzelne Formeln gemacht werden.

Prinzip

Logische Kalküle als formale Objekte behandeln und allgemeine Regeln sowie Schranken für Konsequenzrelationen, Ableitbarkeit, Modelltheorie und das Verhältnis zwischen syntaktischer und semantischer Charakterisierung formulieren.

Demonstration

Das Beweisen des Vollständigkeitssatzes für die Prädikatenlogik (zu zeigen, dass jede semantisch gültige Formel syntaktisch ableitbar ist) und das Herleiten der Unentscheidbarkeit der Gültigkeit in der Prädikatenlogik sind typische metalogische Demonstrationen.

Fehlanwendung

Ein Objektsprachniveau mit einer metalogischen Behauptung verwechseln (z. B. einen Metasatz, der über Theorien quantifiziert, als Satz innerhalb einer festen Theorie fehlinterpretieren) oder ein modelltheoretisches Resultat auf eine syntaktische Ableitung anwenden, ohne Repräsentierbarkeit zu prüfen.

Konsequenz

Klärt, was in gegebenen Systemen bewiesen werden kann oder nicht, ermöglicht den Transfer von Resultaten zwischen Logiken und liefert prinzipielle Schranken (Unentscheidbarkeit, Unvollständigkeit, Vollständigkeit), die Konstruktion und Nutzung formaler Systeme leiten.

Umkehrung

Anstatt über Logiken als Objekte zu reflektieren, eine Logik ausschließlich als objektsprachlichen Kalkül behandeln, dessen relevante Tatsachen nur einzelne Formelderivationen und semantische Bewertungen in einem festen Modell sind.

Abgrenzung

Konzentriert sich auf formale Eigenschaften logischer Systeme und schließt empirische, psychologische oder informelle philosophische Darstellungen des Schließens aus; gilt vornehmlich für formal spezifizierte Kalküle und deren Semantiken, nicht für informelle Argumentation.

Semantische Spannung

Es entsteht eine Spannung zwischen syntaktischen (beweistheoretischen) und semantischen (modelltheoretischen) Ansätzen: Einige Resultate sind perspektivisch (Beweisbarkeit vs. Gültigkeit) und ihre Übersetzung erfordert Repräsentations- und Korrektheitsannahmen.

Synthese

Metalogik verbindet die Untersuchung von Syntax, Semantik und Umformungsregeln zu allgemeinen Sätzen über ganze logische Systeme und macht sowohl Fähigkeiten (Vollständigkeit, Entscheidbarkeit) als auch Grenzen (Unentscheidbarkeit, Unvollständigkeit) sichtbar.