Un marco lógico que extiende la sintaxis de primer orden permitiendo cuantificación no solo sobre elementos individuales del dominio sino también sobre relaciones, funciones o subconjuntos del dominio (es decir, las variables de segundo orden abarcan objetos de tipo predicado).

Principio

Al permitir cuantificar sobre variables de predicado o conjunto, la lógica de segundo orden incrementa el poder expresivo (puede expresar la categorización de estructuras, esquemas de inducción completos) pero, bajo la semántica plena (estándar), generalmente pierde propiedades meta-lógicas clave del primer orden como completitud y compacidad.

Demostración

Los axiomas de Peano de segundo orden cuantifican sobre todos los subconjuntos para expresar la inducción como un único axioma: para todo predicado P, si 0∈P y P es cerrado bajo sucesor entonces todo número está en P; bajo semántica plena este conjunto de axiomas caracteriza categóricamente a los números naturales hasta isomorfismo.

Aplicación incorrecta

Suponer que la lógica de segundo orden con semántica plena posee un sistema de prueba correcto, completo y recursivamente enumerable análogo al del primer orden es un error; confundir la semántica de Henkin (general) con la semántica plena sin cuidado conduce a afirmaciones incorrectas sobre completitud y expresividad.

Consecuencia

La lógica de segundo orden puede expresar propiedades inexpressables en primer orden (p. ej., la categorización de la aritmética bajo semántica plena) y capturar muchos conceptos matemáticos de forma natural, pero estas ganancias conllevan la pérdida de ciertos metateoremas y la dependencia de la semántica elegida (plena vs Henkin).

Inversión

Interpretar los cuantificadores de segundo orden en semántica Henkin o general reduce la lógica a un sistema similar al de primer orden con muchos tipos, recuperando completitud y compacidad a costa del alcance 'pleno' pretendido para las variables de segundo orden; por tanto, la potencia aparente depende de la elección semántica.

Límite

El comportamiento y las propiedades metateóricas de la lógica de segundo orden dependen críticamente de si se adopta semántica plena (los cuantificadores de segundo orden abarcan todos los subconjuntos/relaciones) o semántica Henkin (abarcan una colección especificada); excluye la cuantificación de tipos superiores salvo que se extienda explícitamente.

Tensión semántica

La tensión surge entre el deseo de axiomatizaciones categóricas y expresivas (favorecidas por la semántica plena) y el deseo de propiedades proof-teóricas robustas (favorecidas por la semántica Henkin); los practicantes deben elegir la semántica que se ajuste a sus fines fundacionales.

Síntesis

La Lógica De Segundo Orden amplía la sintaxis del primer orden para cuantificar sobre objetos de tipo predicado, proporcionando herramientas expresivas potentes (por ejemplo axiomas categóricos) cuyas consecuencias filosóficas y técnicas dependen del régimen semántico elegido: la semántica plena da sistemas expresivos pero metateóricamente frágiles, la semántica Henkin cambia algo de esa fuerza por una regularidad metalógica recuperada.