Ein logisches Rahmenwerk, das die Syntax der ersten Ordnung erweitert, indem es Quantifikation nicht nur über einzelne Elemente einer Domäne, sondern auch über Relationen, Funktionen oder Teilmengen der Domäne erlaubt (d. h. zweitordentliche Variablen reichen über prädikatartige Objekte).

Prinzip

Durch die Erlaubnis der Quantifikation über Prädikat- oder Mengenvariablen erhöht die Zweitordnungslogik die Ausdrucksstärke (kann Kategorizität von Strukturen, vollständige Induktionsschemata ausdrücken), verliert jedoch unter voller (standard) Semantik in der Regel wichtige Metaeigenschaften der ersten Ordnung wie Vollständigkeit und Kompaktheit.

Demonstration

Zweitordnungs-Peano-Axiome quantifizieren über alle Teilmengen, um die Induktion als ein einziges Axiom auszudrücken: Für jede Eigenschaft P, wenn 0∈P und P unter dem Nachfolger abgeschlossen ist, dann ist jede Zahl in P; unter voller Semantik charakterisiert diese Menge von Axiomen die natürlichen Zahlen kategorisch bis auf Isomorphie.

Fehlanwendung

Zu glauben, Zweitordnungslogik mit voller Semantik habe ein korrektes, vollständiges und rekursiv aufzählbares Beweissystem analog zur ersten Ordnung, ist ein Irrtum; Henkin- (generelle) Semantik mit voller Semantik ohne Vorsicht zu verwechseln, führt zu falschen Aussagen über Vollständigkeit und Ausdrucksstärke.

Konsequenz

Zweitordnungslogik kann Eigenschaften ausdrücken, die in der ersten Ordnung unbeschreibbar sind (z. B. Kategorizität der Arithmetik unter voller Semantik) und viele mathematische Konzepte natürlich erfassen, doch gehen diese Gewinne mit dem Verlust bestimmter Metatheoreme und der Abhängigkeit vom gewählten Semantiktyp einher (voll vs. Henkin).

Umkehrung

Die Interpretation zweitordentlicher Quantoren in Henkin- oder genereller Semantik reduziert die Logik zu einem mehrsortigen, ersten-ordnungsähnlichen System und stellt Vollständigkeit und Kompaktheit wieder her, auf Kosten der 'vollen' intendierten Reichweite der zweitordentlichen Variablen; die scheinbare Macht hängt also vom Semantikwahl ab.

Abgrenzung

Das Verhalten und die metatheoretischen Eigenschaften der Zweitordnungslogik hängen entscheidend davon ab, ob man volle (standarde) Semantik annimmt, bei der zweitordentliche Quantoren über alle Teilmengen/Relationen reichen, oder Henkin-Semantik, bei der sie über eine bestimmte Sammlung reichen; sie schließt Quantifikation höherer Typen aus, sofern nicht ausdrücklich erweitert.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen dem Wunsch nach kategorialen, expressiven Axiomatisierungen (begünstigt durch volle Semantik) und dem Wunsch nach robusten beweistheoretischen Eigenschaften (begünstigt durch Henkin-Semantik); Praktiker müssen eine Semantik wählen, die ihren fundamentalen Zielen entspricht.

Synthese

Die Logik Zweiter Ordnung erweitert die erste-Ordnung-Syntax zur Quantifikation über prädikatartige Objekte und bietet mächtige Ausdrucksmittel (z. B. kategoriale Axiome), deren philosophische und technische Folgen vom gewählten Semantikregime abhängen: Volle Semantik liefert expressive, metatheoretisch fragile Systeme, Henkin-Semantik tauscht beabsichtigte Stärke gegen wiedergewonnene metalogische Regelmäßigkeit.