Afirmación de clasificación para formas cuadráticas reales (o matrices simétricas reales hasta congruencia): toda matriz simétrica real es congruente a una diagonal con entradas 1, −1 y 0, y los números de entradas positivas, negativas y nulas (la firma) son invariantes independientes de la matriz representante elegida.

Principio

Invariancia de la firma bajo congruencia real: transformar una matriz simétrica por A ↦ P^T A P con P invertible real conserva los recuentos de autovalores positivos, negativos y nulos, por lo que la firma clasifica las formas cuadráticas sobre R hasta congruencia.

Demostración

Dada una matriz simétrica real se realizan transformaciones por congruencia (procedimientos de pivote tipo Gram–Schmidt) para diagonalizarla en diag(I_p, −I_q, 0_r); el triple (p,q,r) es la inercia o firma. Por ejemplo, una forma cuadrática no degenerada en tres variables puede tener firma (2,1,0).

Aplicación incorrecta

Confundir la invariancia por congruencia con la invariancia por semejanza (datos espectrales): los autovalores no se preservan bajo congruencia arbitraria; aplicar la ley de Sylvester sobre cuerpos sin orden (p. ej. C) donde la positividad no tiene sentido es inválido.

Consecuencia

Proporciona una clasificación completa de las formas cuadráticas reales hasta cambio de base por matrices reales invertibles, posibilitando representantes canónicos, determinación de definitud y recuentos invariantes usados en optimización, geometría diferencial y mecánica.

Inversión

Sobre los complejos, toda forma hermítica no singular es congruente a la identidad (solo importa el rango), lo que destaca que sobre cuerpos sin orden la inercia se reduce a información de rango en lugar de una firma con signo.

Límite

Se aplica a matrices simétricas reales (o formas cuadráticas reales) bajo congruencia por matrices reales invertibles; no se aplica directamente a matrices no simétricas, a la clasificación por semejanza, ni a cuerpos sin estructura de orden sin reinterpretación.

Tensión semántica

Tensión con el teorema espectral: la diagonalización espectral por semejanza ortogonal preserva autovalores y estructura ortogonal, mientras que la diagonalización por congruencia de Sylvester preserva la firma pero no los autovalores; ambas clasificaciones responden a problemas de equivalencia distintos.

Síntesis

La Ley de Inercia de Sylvester establece que la firma (conteo de direcciones positivas, negativas y nulas) es el invariante completo de una forma cuadrática real bajo congruencia real: toda matriz simétrica puede reducirse a una forma diagonal con recuentos fijos de ±1 y 0, clasificando así su inercia.