Aussage zur Klassifikation reeller quadratischer Formen (bzw. reeller symmetrischer Matrizen bis auf Kongruenz): Jede reelle symmetrische Matrix ist kongruent zu einer Diagonalmatrix mit Einträgen 1, −1 und 0, und die Anzahlen positiver, negativer und nuller Diagonaleinträge (die Signatur) sind invariabel.

Prinzip

Invarianz der Signatur unter reeller Kongruenz: Durch A ↦ P^T A P mit invertierbarem reellen P bleiben die Anzahlen positiver, negativer und nuller Eigenwerte erhalten, sodass die Signatur quadratische Formen über R bis auf Kongruenz klassifiziert.

Demonstration

Man führt Kongruenztransformationen (pivotähnliche Verfahren, analog zu Gram‑Schmidt) durch, um eine reelle symmetrische Matrix in diag(I_p, −I_q, 0_r) zu überführen; das Tripel (p,q,r) ist die Inertie/Signatur. Z.B. kann eine nichtentartete reelle quadratische Form in drei Variablen die Signatur (2,1,0) haben.

Fehlanwendung

Kongruenzinvarianz mit Ähnlichkeitsinvarianz verwechseln (Spektraldaten): Eigenwerte werden nicht durch allgemeine Kongruenz erhalten; die Anwendung des Sylvester‑Satzes über Körpern ohne Ordnung (z. B. C) ist ungeeignet, weil Positivität dort keine Bedeutung hat.

Konsequenz

Gibt eine vollständige Klassifikation reeller quadratischer Formen bis auf Basiswechsel durch invertierbare reelle Matrizen, ermöglicht kanonische Repräsentanten, Bestimmung der Definitheit und liefert invariante Zählungen, die in Optimierung, Differentialgeometrie und Mechanik genutzt werden.

Umkehrung

Über den komplexen Zahlen ist jede nichtsinguläre hermitesche Form kongruent zur Identität (nur der Rang zählt), wodurch deutlich wird, dass die Inertie über Körpern ohne Ordnung auf Ranginformation reduziert ist.

Abgrenzung

Gilt für reelle symmetrische Matrizen (oder reelle quadratische Formen) unter Kongruenz durch invertierbare reelle Matrizen; nicht direkt anwendbar auf beliebige (nichtsymmetrische) Matrizen, Ähnlichkeitsklassifikation oder auf Körper ohne Ordnungsstruktur ohne entsprechende Neudeutung.

Semantische Spannung

Spannung zum Spektralsatz: Orthogonale diagonalisierung durch Ähnlichkeit bewahrt Eigenwerte und orthogonale Struktur, während Sylvesters Kongruenzdiagonalisierung die Signatur bewahrt, nicht jedoch die Eigenwerte; beide Klassifikationen behandeln verschiedene Äquivalenzfragen.

Synthese

Sylvesters Inertiesatz besagt, dass die Signatur (Anzahlen positiver, negativer und nuller Richtungen) das vollständige Invariant einer reellen quadratischen Form unter reeller Kongruenz ist: jede symmetrische Matrix lässt sich auf eine Diagonalform mit festen Anzahlen von ±1 und 0 reduzieren und so klassifizieren.