Teorema que afirma que para cualquier grupo o módulo de longitud finita, dos series de composición cualesquiera tienen factores simples isomorfos salvo reordenamiento; equivalentemente, el multiconjunto de factores de composición y la longitud de composición son invariantes del objeto.

Principio

Aunque las series de composición pueden diferir en los subobjetos intermedios, los bloques simples y sus multiplicidades están determinados de forma única hasta orden e isomorfismo, de modo que los constituyentes 'atómicos' son invariantes mientras que las filtraciones no lo son.

Demostración

Para el grupo S3 una serie de composición es {e} ⊲ A3 ⊲ S3 con factores simples A3/{e} ≅ C3 y S3/A3 ≅ C2; cualquier otra serie de composición de S3 produce el mismo multiconjunto de cocientes simples {C3, C2} quizá en distinto orden, mostrando el teorema.

Aplicación incorrecta

Creer que Jordan–Hölder permite reconstruir el objeto: suponer que dos grupos (o módulos) con el mismo multiconjunto de factores deben ser isomorfos; esto es falso, existen extensiones no isomorfas con los mismos factores de composición.

Consecuencia

Proporciona invariantes bien definidos (longitud de composición y multiconjunto de factores simples) usados en problemas de clasificación y comparación, y garantiza que los argumentos de refinamiento terminan con los mismos constituyentes atómicos.

Inversión

Si el teorema fallara, distintas series de composición podrían producir multiconjuntos distintos de factores simples, haciendo la noción de 'constituyentes simples' indefinida e impidiendo invariantes estables basadas en esos factores.

Límite

Requiere objetos de longitud finita (módulos con serie de composición finita o grupos finitos con serie normal cuyos cocientes sucesivos sean simples); no se aplica a objetos de longitud infinita ni a series que no sean de composición.

Tensión semántica

Jordan–Hölder suele contraparse con el refinamiento de Schreier: Schreier garantiza refinamientos comunes de dos series mientras Jordan–Hölder garantiza la unicidad de los factores simples; la tensión es entre existencia de refinamientos y unicidad de los constituyentes atómicos.

Síntesis

Jordan–Hölder reconcilia la no unicidad de las filtraciones con la unicidad de la estructura atómica: aunque distintas series de composición presenten pasos intermedios diferentes, todas descomponen el objeto en los mismos bloques simples con las mismas multiplicidades.