Ein Satz, der besagt, dass bei einem Objekt endlicher Länge (Gruppe oder Modul) jede zwei Kompositionsreihen isomorphe einfache Faktoren bis auf Reihenfolge haben; äquivalent ist, dass das Multiset der Kompositionsfaktoren (einfache Quotienten) und die Kompositionslänge Invarianten des Objekts sind.

Prinzip

Obwohl Kompositionsreihen sich in den Zwischenobjekten unterscheiden können, sind die einfachen Bausteine und ihre Vielfachheiten eindeutig bestimmt bis auf Ordnung und Isomorphie, sodass die 'atomaren' Bestandteile invariant sind, die Filtrationen jedoch nicht.

Demonstration

Für die Gruppe S3 ist eine Kompositionsreihe {e} ⊲ A3 ⊲ S3 mit einfachen Faktoren A3/{e} ≅ C3 und S3/A3 ≅ C2; jede andere Kompositionsreihe von S3 liefert dasselbe Multiset einfacher Quotienten {C3, C2}, eventuell in umgekehrter Reihenfolge, und zeigt den Satz.

Fehlanwendung

Daraus abzuleiten, dass zwei Gruppen (oder Module) mit demselben Multiset an Kompositionsfaktoren isomorph sein müssen; das ist falsch — es können nicht-isomorphe Erweiterungen mit identischen Kompositionsfaktoren existieren.

Konsequenz

Liefert wohldefinierte Invarianten (Kompositionslänge und Multiset einfacher Faktoren), die in Klassifikations- und Vergleichsproblemen verwendet werden, und stellt sicher, dass Verfeinerungsargumente mit denselben atomaren Bestandteilen enden.

Umkehrung

Fiele der Satz weg, könnten verschiedene Kompositionsreihen unterschiedliche Multisets einfacher Faktoren liefern, wodurch die Idee der einfachen Bestandteile undefiniert würde und stabile Invarianten auf dieser Basis fehlten.

Abgrenzung

Setzt Objekte endlicher Länge voraus (Module mit endlicher Kompositionsreihe oder endliche Gruppen mit normaler Reihe deren Quotienten einfach sind); gilt nicht für Objekte unendlicher Länge oder für Reihen, die keine Kompositionsreihen sind.

Semantische Spannung

Jordan–Hölder steht häufig im Spannungsfeld zum Schreier-Refinement: Schreier garantiert gemeinsame Verfeinerungen zweier Reihen, Jordan–Hölder hingegen die Eindeutigkeit der einfachen Faktoren; die Spannung liegt zwischen Existenz von Verfeinerungen und Eindeutigkeit der atomaren Bestandteile.

Synthese

Jordan–Hölder versöhnt die Nicht-Eindeutigkeit von Filtrationen mit der Eindeutigkeit der atomaren Struktur: Unterschiedliche Kompositionsreihen liefern zwar verschiedene Zwischenstufen, zerlegen das Objekt aber stets in dieselben einfachen Bausteine mit derselben Vielfachheit.