Toda matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo satisface su propio polinomio característico: si p(λ) = det(λI - A) es el polinomio característico de una matriz n×n A, entonces p(A) = 0 (la matriz cero), expresando una identidad polinómica verificada por A.

Principio

Las matrices obedecen su polinomio característico porque la relación polinómica capta las dependencias algebraicas entre potencias del operador lineal; esto permite reducir potencias altas a expresiones polinomiales de grado inferior en A.

Demostración

Para una matriz 2×2 A = [[a,b],[c,d]] el polinomio característico es p(λ) = λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) y la sustitución directa muestra que p(A) es la matriz cero; concretamente A^2 - (traza A)A + (det A)I = 0.

Aplicación incorrecta

Aplicar Cayley–Hamilton a matrices no cuadradas o creer que el teorema da inmediatamente factores del polinomio mínimo es incorrecto; además, su uso sobre anillos no conmutativos exige precaución respecto al orden de multiplicación.

Consecuencia

Cayley–Hamilton implica que cualquier polinomio en A se reduce módulo p a un polinomio de grado < n, lo que facilita el cálculo de funciones de matrices, fórmulas explícitas para potencias y la relación con el polinomio mínimo.

Inversión

La recíproca no es verdadera en general: que A anule un polinomio no determina de forma única el polinomio característico, pues muchos polinomios pueden anular A; el polinomio mínimo divide al característico pero puede ser estrictamente menor.

Límite

La formulación clásica supone matrices cuadradas sobre un anillo conmutativo (habitualmente un cuerpo); para operadores en espacios de dimensión infinita o matrices sobre anillos no conmutativos la validez y la formulación requieren hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Hay tensión entre Cayley–Hamilton como identidad de anulación p(A)=0 y el concepto distinto del polinomio mínimo que da el polinomio anulador de menor grado; distinguir ambos aclara la estructura espectral y algebraica.

Síntesis

Cayley–Hamilton aporta una relación algebraica concreta para operadores lineales: el polinomio característico anula la matriz, condensando la información algebraica sobre A en una identidad polinómica útil para el cálculo y el análisis estructural.