Jede quadratische Matrix über einem kommutativen Ring erfüllt ihr eigenes charakteristisches Polynom: Ist p(λ) = det(λI - A) das charakteristische Polynom einer n×n-Matrix A, so gilt p(A) = 0 (die Nullmatrix), was eine polynomiale Identität für A darstellt.

Prinzip

Matrizen gehorchen ihrem charakteristischen Polynom, weil diese Polynomrelation die algebraischen Abhängigkeiten zwischen Potenzen des linearen Operators erfasst; daraus folgt die Reduktion höherer Potenzen auf Polynome geringeren Grades in A.

Demonstration

Bei einer 2×2-Matrix A = [[a,b],[c,d]] ist p(λ) = λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) und durch direkte Substitution zeigt man, dass p(A) die Nullmatrix ist; konkret gilt A^2 - (Spur A)A + (det A)I = 0.

Fehlanwendung

Cayley–Hamilton auf nicht-quadratische Matrizen anzuwenden oder fälschlich zu meinen, der Satz liefere sofort Faktoren des minimalen Polynoms, ist falsch; außerdem erfordert die Anwendung über nichtkommutativen Ringen Vorsicht bezüglich der Multiplikationsreihenfolge.

Konsequenz

Cayley–Hamilton impliziert, dass jedes Polynom in A modulo p auf ein Polynom vom Grad < n reduziert wird, was die Berechnung von Matrixfunktionen, expliziten Formeln für Potenzen und Verbindungen zum minimalen Polynom ermöglicht.

Umkehrung

Die Konverse gilt allgemein nicht: Dass A ein Polynom erfüllt, bestimmt das charakteristische Polynom nicht eindeutig, denn viele Polynome können A aufheben; das minimale Polynom teilt das charakteristische, kann aber strenger kleiner sein.

Abgrenzung

Die klassische Aussage setzt quadratische Matrizen über einem kommutativen Ring voraus (üblich ein Körper); für Operatoren in unendlichdimensionalen Räumen oder Matrizen über nichtkommutativen Ringen sind zusätzliche Hypothesen für Gültigkeit und Formulierung nötig.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen Cayley–Hamilton als Existenzidentität p(A)=0 und dem Konzept des minimalen Polynoms, das das kleinste annihilierende Polynom liefert; die Unterscheidung klärt spektrale und algebraische Strukturfragen.

Synthese

Cayley–Hamilton liefert eine konkrete algebraische Relation für lineare Abbildungen: Das charakteristische Polynom annihiliert die Matrix, wodurch sich algebraische Informationen über A in einer nutzbaren polynomialen Identität bündeln.