Un procedimiento en un espacio con producto interior que convierte un conjunto finito de vectores linealmente independientes en un conjunto ortogonal (u ortonormal) que genera el mismo subespacio, mediante la sustracción sucesiva de proyecciones.

Principio

Para cada vector en la secuencia, eliminar su proyección sobre el espacio generado por los vectores ya ortogonalizados y, opcionalmente, normalizar; así se impone ortogonalidad entre pares preservando el espacio generado.

Demostración

Dado v1 = (1,1,0), v2 = (1,0,1) en R3 con el producto interior estándar, sustrae la proyección de v2 sobre v1 para obtener u2 = v2 − (⟨v2,v1⟩/⟨v1,v1⟩) v1 ortogonal a v1; luego normaliza u1,u2 para obtener una base ortonormal de su span.

Aplicación incorrecta

Aplicar la versión clásica a un conjunto linealmente dependiente produce vectores cero y requiere manejo especial; numéricamente, Gram–Schmidt clásico es inestable para vectores casi dependientes, por lo que su uso ingenuo en coma flotante puede dar una ortogonalidad inexacta.

Consecuencia

Produce una base ortogonal u ortonormal del subespacio generado, posibilita la factorización QR de matrices con columnas independientes y ofrece una vía constructiva para obtener proyecciones ortogonales y representaciones de coordenadas respecto a una base ortonormal.

Inversión

Sustituir la resta secuencial de proyecciones por una diagonalización directa (por ejemplo SVD) o por reflexiones de Householder da métodos alternativos de ortonormalización; invertir Gram–Schmidt implicaría recombinar vectores ortogonales en el conjunto original, lo cual no es en general único.

Límite

Se aplica a secuencias finitas en espacios con producto interior; las bases ortonormales completas en espacios de Hilbert infinito dimensional requieren consideraciones de convergencia y la ortonormalización de una secuencia infinita puede fallar si la secuencia no está controlada adecuadamente.

Tensión semántica

Tiene tensión con métodos numéricamente estables de ortonormalización (Gram–Schmidt modificado, Householder, SVD): Gram–Schmidt es simple y constructivo pero puede ser numéricamente inferior; además difiere de la ortogonalización estadística como PCA que usa descomposición en valores propios.

Síntesis

Un algoritmo progresivo de eliminación de proyecciones que transforma un conjunto finito independiente en una base ortogonal (y opcionalmente normalizada) de su span, fundamental para QR y construcción de proyecciones ortogonales, pero sensible a dependencia y errores numéricos.