Ein Verfahren in einem Skalarproduktraum, das eine endliche linear unabhängige Menge von Vektoren durch sukzessives Abziehen von Projektionen in eine orthogonale (oder orthonormale) Menge überführt, die denselben Unterraum aufspannt.

Prinzip

Für jeden Vektor der Reihenfolge wird seine Projektion auf den von bereits orthogonalisierten Vektoren erzeugten Raum entfernt und anschließend (optional) normalisiert; so wird paarweise Orthogonalität hergestellt, während der Spann erhalten bleibt.

Demonstration

Seien v1 = (1,1,0), v2 = (1,0,1) in R3 mit Standard-Skalarprodukt. Ziehe die Projektion von v2 auf v1 ab: u2 = v2 − (⟨v2,v1⟩/⟨v1,v1⟩) v1 ist orthogonal zu v1; normiere u1,u2, um eine orthonormale Basis ihres Spann zu erhalten.

Fehlanwendung

Die klassische Variante auf linear abhängige Mengen anzuwenden liefert Nullvektoren und erfordert besondere Behandlung; numerisch ist klassisches Gram–Schmidt bei beinahe abhängigen Vektoren instabil, sodass naive Implementation in Fließkommaarithmetik ungenaue Orthogonalität erzeugen kann.

Konsequenz

Erzeugt eine orthogonale oder orthonormale Basis des Spannraums, erlaubt die QR-Faktorisierung von Matrizen mit unabhängigen Spalten und bietet einen konstruktiven Weg zu orthogonalen Projektionen und Koordinatendarstellungen bezüglich einer orthonormalen Basis.

Umkehrung

Die sequentielle Projektion-Subtraktion durch eine direkte Diagonalisierung (z. B. SVD) oder durch Householder-Reflektionen zu ersetzen, liefert alternative Orthonormalisierungsverfahren; die Umkehrung von Gram–Schmidt würde bedeuten, orthogonale Vektoren zurück in das ursprüngliche (möglicherweise abhängige) Set zu kombinieren, was nicht eindeutig ist.

Abgrenzung

Gilt für endliche Folgen in Skalarprodukträumen; vollständige orthonormale Basen in unendlichdimensionalen Hilberträumen erfordern Konvergenzbetrachtungen, und die Orthonormalisierung einer unendlichen Folge kann scheitern, wenn die Folge nicht geeignet beschaffen ist.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsfeld zu numerisch stabileren Orthonormalisierungsverfahren (modifiziertes Gram–Schmidt, Householder, SVD): Gram–Schmidt ist konzeptionell einfach und konstruktiv, kann aber numerisch nachteilig sein; es unterscheidet sich auch von statistischen Methoden wie PCA, die eigendecompositionbasiert sind.

Synthese

Ein schrittweises Projektionsentfernungs-Verfahren, das eine endliche unabhängige Menge in eine orthogonale (gegebenenfalls normalisierte) Basis ihres Spann überführt; zentral für QR-Faktorisierung und orthogonale Projektionen, jedoch empfindlich gegenüber Abhängigkeit und Rundungsfehlern.