Un mapeo entre lenguajes, fórmulas o estructuras tal que siempre que una fórmula es verdadera en una interpretación o modelo fuente, su imagen bajo el mapeo es verdadera en la interpretación o modelo objetivo correspondiente (con respecto a la semántica especificada).

Principio

La preservación de la verdad requiere que el mapeo conmute con la satisfacción: para todo modelo fuente M y toda fórmula φ, si M ⊨ φ entonces mapped(M) ⊨ mapped(φ). La dirección importa: la verdad solo tiene que preservarse de la fuente al objetivo salvo que el mapeo sea además reflejante de verdad.

Demostración

Un homomorfismo de estructuras relacionales que envía elementos y relaciones de modo que las fórmulas atómicas satisfechas en la fuente también lo sean en el objetivo proporciona un mapeo que preserva la verdad para la satisfacción atómica; la traducción estándar de fórmulas modales a fórmulas de primer orden es preservadora de la verdad para modelos de Kripke apuntados en la manera prevista.

Aplicación incorrecta

Suponer que un mapeo que preserva la verdad es invertible o que preserva la consecuencia y la demostrabilidad en ambos sentidos; también asumir la preservación de grados de verdad en lógicas no clásicas sin comprobar la semántica empleada.

Consecuencia

La preservación de la verdad permite transferir modelos, contramodelos y resultados de satisfacibilidad de la fuente al objetivo, establecer incrustaciones semánticas seguras y reutilizar argumentos de construcción de modelos en el marco objetivo.

Inversión

La noción inversa es la reflexión de verdad: un mapeo es reflejante de verdad si la verdad de la imagen implica la verdad de la preimagen. Un mapeo que preserve y refleje la verdad establece una equivalencia de verdad entre fuente y objetivo.

Límite

Depende de la semántica: la verdad debe estar definida en ambas partes y el mapeo debe especificarse sobre fórmulas y modelos; la propiedad no implica automáticamente la preservación de rasgos prueba‑teóricos o de relaciones de consecuencia salvo que éstos se incluyan en la especificación.

Tensión semántica

Tensión entre preservación de la verdad y preservación de consecuencias: un mapeo puede preservar la verdad de fórmulas sueltas sin preservar la consecuencia lógica entre conjuntos de fórmulas, y puede preservar la verdad bajo una semántica pero fallar bajo otra (clásica vs. multivaluada, por ejemplo).

Síntesis

Un mapeo que preserva la verdad es un embedding semántico que garantiza que la verdad en la fuente se traslada al objetivo; es una garantía semántica dirigida que facilita la transferencia de modelos pero debe complementarse con otras propiedades para obtener una equivalencia más amplia.