Eine Abbildung zwischen Sprachen, Formeln oder Strukturen derart, dass immer dann, wenn eine Formel in einer Quellinterpretation oder einem Quellmodell wahr ist, ihr Bild unter der Abbildung in der entsprechenden Zielinterpretation oder im Zielmodell wahr ist (bezüglich der spezifizierten Semantik).

Prinzip

Wahrheitserhaltung erfordert, dass die Abbildung mit der Erfüllung kommutiert: Für jedes Quellmodell M und jede Formel φ gilt, wenn M ⊨ φ, dann mapped(M) ⊨ mapped(φ). Die Richtung ist bedeutsam — Wahrheit muss nur von Quelle zu Ziel erhalten sein, es sei denn, die Abbildung ist zusätzlich wahrheitsreflektierend.

Demonstration

Ein Homomorphismus relationaler Strukturen, der Elemente und Relationen so abbildet, dass in der Quelle erfüllte atomare Formeln auch in der Zielstruktur erfüllt sind, liefert eine wahrheitserhaltende Abbildung für atomare Erfüllung; die Standardübersetzung modaler Formeln in prädikatenlogische Formeln ist für punktierte Kripke‑Modelle auf die erwartete Weise wahrheitserhaltend.

Fehlanwendung

Fälschlicherweise anzunehmen, eine wahrheitserhaltende Abbildung sei invertierbar oder erhalte in beiden Richtungen Folgerung und Beweisbarkeit; ebenso die Annahme, dass Grade der Wahrheit in nichtklassischen Logiken ohne Prüfung der zugrundeliegenden Semantik erhalten bleiben.

Konsequenz

Wahrheitserhaltung erlaubt den Transfer von Modellen, Gegenmodellen und Erfüllbarkeitsresultaten von der Quelle ins Ziel, begründet sichere Einbettungen und ermöglicht die Wiederverwendung modelltheoretischer Argumente im Zielrahmen.

Umkehrung

Die Umkehridee ist Wahrheitsreflexion: Eine Abbildung ist wahrheitsreflektierend, falls die Wahrheit des Bildes die Wahrheit der Urbilds impliziert. Ist eine Abbildung sowohl wahrheitserhaltend als auch wahrheitsreflektierend, so besteht eine Wahrheitsäquivalenz zwischen Quelle und Ziel.

Abgrenzung

Hängt von der Semantik ab: Wahrheit muss in Quelle und Ziel definiert sein und die Abbildung muss sowohl auf Formeln als auch auf Modellen spezifiziert werden; die Eigenschaft impliziert nicht automatisch die Erhaltung beweistheoretischer Merkmale oder Folgerungsbeziehungen, sofern diese nicht explizit verlangt werden.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Wahrheitserhaltung und Konsequenzerhaltung: Eine Abbildung kann einzelne Formeln wahrheitserhaltend abbilden, ohne logische Folgerungen zwischen Formelmengen zu erhalten, und sie kann unter einer Semantik wahrheitserhaltend sein, unter einer anderen jedoch versagen (klassisch vs. mehrwertig).

Synthese

Eine wahrheitserhaltende Abbildung ist ein semantisches Embedding, das garantiert, dass Wahrheit in der Quelle in die Zielstruktur getragen wird; es ist eine gerichtete semantische Zusicherung, die Modelltransfer unterstützt, jedoch mit weiteren Eigenschaften ergänzt werden muss, um vollständige Äquivalenz zu erreichen.