El resultado que establece que, en el modelo clásico de regresión lineal con errores de media cero, no correlacionados y homocedásticos, el estimador por mínimos cuadrados ordinarios (OLS) de los coeficientes de regresión es el mejor estimador lineal insesgado (BLUE), es decir, tiene la menor varianza entre todos los estimadores lineales insesgados.

Principio

Bajo las condiciones de Gauss–Markov, el problema de estimación es una proyección en un espacio de Hilbert de las observables sobre el espacio columna de los regresores; la insesgadez lineal junto con la ortogonalidad al espacio de residuos conduce a la varianza mínima dentro de los estimadores lineales.

Demostración

En una regresión lineal simple con término independiente y errores i.i.d. de varianza común, los estimadores OLS de pendiente e intercepto son funciones lineales de las respuestas observadas; puede demostrarse por álgebra de varianzas que cualquier otro estimador lineal insesgado tendrá matriz de covarianza igual o mayor, mostrando la propiedad BLUE.

Aplicación incorrecta

Suponer que el teorema garantiza optimalidad en clases no lineales (se limita a estimadores lineales) o que la normalidad es necesaria; emplear OLS como BLUE cuando los errores son heterocedásticos, autocorrelacionados o cuando los regresores son endógenos invalida la conclusión.

Consecuencia

Justifica el uso de OLS para estimación y motiva las fórmulas de errores estándar y la inferencia bajo las hipótesis indicadas; indica cuándo se requieren estimadores alternativos (mínimos cuadrados ponderados, GLS, variables instrumentales) si fallan las condiciones.

Inversión

Si se viola la homocedasticidad o la independencia, OLS deja de estar garantizado como minimizador de varianza entre estimadores lineales insesgados; GLS u otros estimadores pueden dominar, invirtiendo la afirmación BLUE.

Límite

Se aplica únicamente a estimadores lineales dentro del modelo lineal clásico con momentos segundos finitos y las condiciones de error especificadas; no aborda la eficiencia entre estimadores no lineales o sesgados, ni proporciona optimalidad en muestras finitas fuera de la clase lineal.

Tensión semántica

A menudo se contrapone a la noción de eficiencia de Cramér–Rao, que trata la cota inferior para todos los estimadores insesgados en modelos paramétricos; Gauss–Markov restringe la atención a estimadores lineales y no exige supuestos distribucionales como la normalidad.

Síntesis

Gauss–Markov afirma que, dentro de la clase de estimadores lineales insesgados bajo errores de media cero, no correlacionados y homocedásticos, OLS minimiza la varianza; es una afirmación de optimalidad basada en proyección y dependiente de hipótesis, que guía la elección de estimador y señala recurrir a GLS o IV si se incumplen las condiciones.