Die Aussage, dass im klassischen linearen Regressionsmodell mit Fehlern, die Erwartungswert null, unkorreliert und homoskedastisch sind, der Ordinary-Least-Squares-(OLS)-Schätzer der Regressionskoeffizienten der beste lineare unverzerrte Schätzer (BLUE) ist, d. h. er hat die kleinste Varianz unter allen linearen unverzerrten Schätzern.

Prinzip

Unter den Gauss–Markov-Bedingungen ist das Schätzproblem eine Projektion in einem Hilbertraum der Beobachtungen auf den Spaltenraum der Regressoren; lineare Unverzerrtheit zusammen mit Orthogonalität zum Residuenraum führt zur Varianzenminimierung innerhalb linearer Schätzer.

Demonstration

In einer einfachen linearen Regression mit Achsenabschnitt und i.i.d.-Fehlern gleicher Varianz sind die OLS-Schätzer lineare Funktionen der beobachteten Antworten; jede andere lineare unverzerrte Schätzung lässt sich mittels Varianzenrechnung zeigen, dass ihre Kovarianzmatrix gleich oder größer ist, womit die BLUE-Eigenschaft demonstriert wird.

Fehlanwendung

Anzunehmen, das Theorem gelte für nichtlineare Klassen (es beschränkt sich auf lineare Schätzer) oder die Normalverteilung sei erforderlich; OLS als BLUE zu verwenden, wenn Fehler heteroskedastisch, autokorreliert sind oder Regressoren endogen sind, macht die Aussage ungültig.

Konsequenz

Begründet die Verwendung von OLS zur Schätzung und liefert die Grundlage für Standardfehlerformeln und Inferenz unter den genannten Annahmen; zeigt auf, wann alternative Schätzer (GLS, gewichtete kleinste Quadrate, Instrumentvariablen) erforderlich sind.

Umkehrung

Wenn Homoskedastizität oder Unabhängigkeit verletzt sind, ist OLS nicht mehr garantiert die Varianz-minimierende Lösung unter linearen unverzerrten Schätzern; GLS oder andere Verfahren können dominieren und kehren die BLUE-Aussage um.

Abgrenzung

Gilt nur für lineare Schätzer im klassischen linearen Modell mit endlichen zweiten Momenten und den spezifizierten Fehlerbedingungen; es behandelt nicht die Effizienz nichtlinearer oder verzerrter Schätzer und bietet keine allgemeine Finite-Sample-Optimalität außerhalb der linearen Klasse.

Semantische Spannung

Wird oft gegenüber dem Cramér–Rao-Konzept der Effizienz gestellt, das die untere Varianzgrenze für alle unverzerrten Schätzer in parametrisierbaren Modellen behandelt; Gauss–Markov beschränkt sich auf lineare Schätzer und benötigt keine Verteilungsannahmen wie Normalität.

Synthese

Gauss–Markov besagt, dass innerhalb der Klasse linearer unverzerrter Schätzer unter Nullmittelwert-, Unkorreliertheits- und Homoskedastizitätsannahmen OLS die Varianz minimiert; es ist eine projektionsbasierte, annahmeabhängige Optimalitätsaussage, die die Wahl des Schätzers lenkt und auf die Notwendigkeit von GLS oder IV bei Verletzung der Annahmen hinweist.