Un punto localizado no liso en una curva o superficie donde la tangente (o el plano tangente) se degenera de modo que la geometría local adopta una forma puntiaguda; analíticamente, es un punto singular en el que las derivadas no definen una dirección tangente regular, por ejemplo la cúspide plana parametrizada por t ↦ (t^2,t^3).

Principio

Una cúspide surge cuando dos ramas de una curva se encuentran con dirección tangente coincidente pero distinto orden de contacto, produciendo una falla de diferenciabilidad caracterizada por la anulación de los términos lineales y por términos de orden superior que crean la punta.

Demostración

Ejemplo plano: la parábola semicúbica y^2 = x^3 en el origen es una cúspide estándar: la dirección tangente es indefinida porque las derivadas de primer orden se anulan. Ejemplo de superficie: el borde de una lámina plegada puede generar una curva cúspide donde las normales colapsan.

Aplicación incorrecta

Llamar cúspide a cualquier esquina pronunciada o vértice poligonal. Una esquina poligonal tiene dos tangentes distintas y bien definidas que forman un ángulo; una cúspide exige la coincidencia o degeneración de las tangentes y es una singularidad analítica de orden superior.

Consecuencia

Las cúspides impiden la aplicación de nociones clásicas de la geometría diferencial (la curvatura puede divergir o ser indefinida), afectan la clasificación analítica local (requieren resolución o blow-up para desingularizar) e influyen en la topología e invariantes enumerativos de curvas algebraicas.

Inversión

Un punto regular donde existe una tangente o plano tangente no degenerado y único; en contraste también con una intersección transversal o una esquina donde existen tangentes distintas en lugar de una degeneración.

Límite

Se aplica a curvas y superficies analíticas o C^k donde la estructura tangencial tiene sentido; excluye esquinas poligonales genéricas, rugosidad fractal sin colapso de tangentes y singularidades de coordenadas removibles tras reparametrización.

Tensión semántica

Cúspide frente a esquina o nudo: una esquina tiene direcciones tangentes distintas; un nudo es la intersección de ramas distintas con tangentes separadas; una cúspide es una sola rama con degeneración de la tangente. Los términos se confunden a menudo informalmente pero tienen firmas analíticas distintas.

Síntesis

Una singularidad en cúspide es el fenómeno analítico en una curva o superficie en el que la descripción tangente lineal falla y el contacto de orden superior produce una geometría local puntiaguda y no lisa; reconocerla requiere verificar la anulación de los términos de primer orden y clasificar el comportamiento de orden superior.