Un resultado de seguimiento de diagramas en álgebra homológica: dado un diagrama conmutativo formado por dos sucesiones exactas A1→A2→A3→A4→A5 y B1→B2→B3→B4→B5 y flechas verticales f_i: A_i→B_i, si f1, f2, f4 y f5 son isomorfismos y se cumplen las hipótesis apropiadas de sobreyectividad/inyectividad, entonces f3 es un isomorfismo.

Principio

La exactitud combinada con la conmutatividad permite que la información local sobre cuatro morfismos contiguos obligue a la invertibilidad del morfismo central mediante el rastreo de núcleos e imágenes a través del diagrama.

Demostración

En topología algebraica se comparan las sucesiones exactas largas de un par (X,A) con las de (Y,B) inducidas por una aplicación (X,A)→(Y,B). Si las cuatro aplicaciones exteriores inducidas en homología son isomorfismos y se verifica la sobreyectividad/inyectividad necesaria en los grados adyacentes, el Lema de los Cinco da que la aplicación inducida en el grado central es un isomorfismo.

Aplicación incorrecta

Aplicarlo cuando las sucesiones no son exactas, el diagrama no conmuta, o las flechas presumidas son sólo biyecciones de conjuntos (no homomorfismos de grupos/módulos): cualquiera de estas fallas invalida el recorrido de núcleos/imágenes y puede producir conclusiones falsas.

Consecuencia

Permite promover isomorfismos locales al isomorfismo global en la posición central de una sucesión exacta, simplificando pruebas de que ciertos objetos derivados u homológicos coinciden bajo una aplicación.

Inversión

La recíproca no es válida en general: que el morfismo central sea un isomorfismo no implica que los cuatro exteriores lo sean. Un resultado relacionado es el Four Lemma, que obtiene inyectividad o sobreyectividad de una flecha a partir de esas propiedades en otras, pero no el isomorfismo total.

Límite

Requiere exactitud en el sentido de categorías abelianas (o al menos sucesiones exactas en grupos/módulos), conmutatividad estricta del diagrama y las hipótesis de sobreyectividad/inyectividad; no se aplica directamente en contextos no abelianos sin hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Estrechamente relacionado con el Snake Lemma y el Nine Lemma; el Lema de los Cinco está orientado al isomorfismo central, mientras que el Snake Lemma construye morfismos de conexión y sucesiones exactas a partir de núcleos y cokernels — técnicas comunes, propósitos distintos.

Síntesis

El Lema de los Cinco es una herramienta de seguimiento de diagramas: bajo exactitud y conmutatividad, el patrón de isomorfismos y morfismos unilaterales alrededor de la flecha central obliga a que ésta sea un isomorfismo, permitiendo deducir equivalencia de objetos centrales a partir de equivalencias en los bordes.