Ein Diagramm-Chasing-Ergebnis der homologischen Algebra: Gegeben ein kommutatives Diagramm mit zwei exakten Reihen A1→A2→A3→A4→A5 und B1→B2→B3→B4→B5 und vertikalen Abbildungen f_i: A_i→B_i, sind f1, f2, f4, f5 Isomorphismen und gelten die nötigen Surjektivitäts-/Injektivitätsbedingungen, so ist auch f3 ein Isomorphismus.

Prinzip

Exaktheit zusammen mit Kommutativität erlaubt es, lokale Informationen über vier benachbarte Morphismen durch Verfolgung von Kernen und Bildern so zu nutzen, dass der zentrale Morphismus invertierbar wird.

Demonstration

In der algebraischen Topologie vergleicht man die langen exakten Reihen der Homologie eines Paars (X,A) mit denen eines Paars (Y,B) unter einer Abbildung (X,A)→(Y,B). Ergeben die äußeren vier induzierten Abbildungen Isomorphismen und sind die nötigen Surjektivitäts-/Injektivitätsbedingungen erfüllt, so liefert das Fünf-Lemma, dass die Abbildung im mittleren Grad ein Isomorphismus ist.

Fehlanwendung

Das Lemma anzuwenden, wenn Reihen nicht exakt sind, das Diagramm nicht kommutiert oder die behaupteten Abbildungen nur Mengenbijektionen (keine Gruppen-/Modulhomomorphismen) sind — dies zerstört die Kernel-/Image-Verfolgung und führt zu falschen Schlüssen.

Konsequenz

Man kann lokale Isomorphismen zum globalen Isomorphismus in der Mitte einer exakten Folge hochziehen, was Beweise vereinfacht, dass bestimmte abgeleitete oder homologe Objekte unter einer Abbildung übereinstimmen.

Umkehrung

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht: Ist der mittlere Morphismus ein Isomorphismus, folgen daraus nicht notwendigerweise Isomorphismen der äußeren vier Morphismen. Ein verwandtes Ergebnis ist das Four-Lemma, das Injektivität oder Surjektivität eines Morphismus aus denen anderer folgern kann, jedoch kein vollständiges Isomorphismus-Ergebnis.

Abgrenzung

Erfordert Exaktheit im Sinn abelscher Kategorien (oder zumindest exakte Folgen in Gruppen/Modulen), strikte Kommutativität des Diagramms und die konkreten Surjektivitäts-/Injektivitätsannahmen; nicht direkt anwendbar in nicht-abelschen Kontexten ohne Zusatzbedingungen.

Semantische Spannung

Eng verwandt mit dem Snake-Lemma und dem Nine-Lemma; das Fünf-Lemma zielt auf das Zentralisomorphismus, das Snake-Lemma erzeugt verbindende Homomorphismen und exakte Folgen — ähnliche Technik, unterschiedliche Ziele.

Synthese

Das Fünf-Lemma ist ein diagramm-chasing-Werkzeug: Unter Exaktheit und Kommutativität erzwingt die Anordnung von Isomorphismen und einseitigen Abbildungen um eine zentrale Abbildung deren Isomorphie, sodass man die Gleichheit zentraler Objekte aus Randäquivalenzen folgern kann.