El teorema que afirma que cualquier subconjunto abierto no vacío y simplemente conexo del plano complejo que no sea todo el plano es conformemente equivalente al disco unitario; es decir, existe un mapa holomorfo bijectivo del dominio al disco con inversa holomorfa.

Principio

Las funciones holomorfas en una variable compleja son lo bastante rígidas para que la simple conexidad topológica, junto con la no trivialidad del dominio, determine un modelo conforme único salvo tres parámetros reales; la estructura compleja y principios máximos aseguran la existencia de un biholomorfismo con el disco.

Demostración

Ejemplo: el semiplano superior es simplemente conexo y no es todo el plano, y se mapea biholomórficamente al disco unitario mediante una transformación de Möbius explícita; para muchos otros dominios simplemente conexos la existencia está garantizada aunque las fórmulas explícitas no estén disponibles.

Aplicación incorrecta

Suponer que el teorema vale en dimensiones complejas superiores o para dominios con más de una conectividad en el plano es incorrecto. También es un abuso confundir existencia con disponibilidad de una fórmula elemental explícita para cualquier dominio.

Consecuencia

Proporciona un modelo canónico (el disco unitario) para dominios simplemente conexos del plano, permitiendo trasladar problemas de teoría de funciones al disco donde operan herramientas potentes como grupos de automorfismos y núcleos reproducentes.

Inversión

Para dominios multiplemente conexos o en C^n con n>1 la afirmación análoga falla: los dominios no tienen por qué ser biholomórficamente equivalentes a un modelo fijo, lo que subraya la singularidad de la teoría en una variable.

Límite

Requiere que el dominio sea un abierto no vacío simplemente conexo de C que no sea todo C. Excluye dominios con agujeros, el plano entero y variedades complejas de dimensión superior.

Tensión semántica

Existe tensión entre la existencia y la construcción explícita: el teorema garantiza un mapa conforme pero normalmente no en forma cerrada; también hay tensión entre la clasificación topológica (simple conexidad) y la estructura analítica (biholomorfismos).

Síntesis

El Teorema de Mapeo de Riemann afirma que todo dominio planar propio y simplemente conexo puede realizarse como el disco unitario por un cambio de coordenadas biholomorfo, ofreciendo un modelo conforme universal para el análisis complejo de una variable.