Der Satz, dass jede nichtleere einfach zusammenhängende offene Teilmenge der komplexen Ebene, die nicht die ganze Ebene ist, konform zum Einheitskreisäquivalent ist; das heißt, es existiert eine bijektive holomorphe Abbildung vom Bereich auf die Einheitscheibe mit holomorpher Umkehrabbildung.

Prinzip

Holomorphe Funktionen in einer komplexen Variablen sind so starr, dass topologische Einfachzusammenhängigkeit zusammen mit Nichttrivialität ein konformes Modell bis auf drei reelle Parameter bestimmt; komplexe Struktur und Maximumprinzip liefern die Existenz eines Biholomorphismus zur Einheitscheibe.

Demonstration

Beispiel: die obere Halbebene ist einfach zusammenhängend und nicht die ganze Ebene und wird durch eine explizite Möbiustransformation biholomorph zur Einheitscheibe abgebildet; für viele andere einfach zusammenhängende Gebiete ist die Existenz garantiert, auch wenn explizite Formeln fehlen.

Fehlanwendung

Die Annahme, der Satz gelte in höheren komplexen Dimensionen oder für mehrfach zusammenhängende Gebiete, ist falsch. Ebenfalls falsch ist die Verwechslung von bloßer Existenz mit der Verfügbarkeit einer elementaren geschlossenen Formel für beliebige Gebiete.

Konsequenz

Er liefert ein kanonisches Modell (die Einheitscheibe) für einfach zusammenhängende Planargebiete und ermöglicht die Überführung funktionentheoretischer Probleme zur Scheibe, wo mächtige Werkzeuge verfügbar sind.

Umkehrung

Für mehrfach zusammenhängende Gebiete oder in C^n mit n>1 versagt eine analoge Aussage: Gebiete sind nicht notwendigerweise biholomorph zu einem festen Modell, was die Besonderheit der Ein-Variablen-Theorie zeigt.

Abgrenzung

Setzt voraus, dass das Gebiet ein nichtleeres offen einfach zusammenhängendes Teilgebiet von C ist, das nicht ganz C ist. Schließt Gebiete mit Löchern, die ganze Ebene und höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten aus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Existenz und expliziter Konstruktion: der Satz garantiert eine konforme Abbildung, aber nicht in geschlossener Form; er stellt auch Topologie (Einfachzusammenhängigkeit) der analytischen Struktur (Biholomorphien) gegenüber.

Synthese

Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass jedes geeignete einfach zusammenhängende Planargebiet als Einheitscheibe durch einen bijektiven holomorphen Koordinatenwechsel dargestellt werden kann und liefert damit ein universelles konformes Modell in der Ein-Variablen-Complexanalyse.