Afirmación de que todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja; equivalentemente, todo polinomio de grado n en C se factoriza como producto de n factores lineales contando multiplicidades.

Principio

El cierre algebraico del cuerpo de los números complejos garantiza que las ecuaciones polinómicas posean raíces: las propiedades algebraicas de C obligan a la factorización en factores lineales.

Demostración

Ejemplo: el polinomio p(z)=z^2+1 tiene raíces complejas i y −i, y z^3−1 se factoriza como (z−1)(z−e^{2πi/3})(z−e^{4πi/3}), mostrando la existencia de raíces y la factorización completa.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema sobre los reales para concluir que todo polinomio real tiene una raíz real; por ejemplo x^2+1 no tiene raíces reales. Otro mal uso es afirmar que siempre existe una fórmula cerrada para las raíces cuando no existe en general.

Consecuencia

Cualquier polinomio sobre C puede reducirse a factores lineales, lo que implica existencia de valores propios para matrices complejas, factorización completa y muchos resultados estructurales en álgebra y análisis.

Inversión

Sobre un cuerpo que no es algebraicamente cerrado como R, los polinomios no constantes pueden carecer de raíces; invertir el enunciado muestra que el cierre algebraico es la hipótesis esencial.

Límite

Se aplica a polinomios con coeficientes complejos y grado ≥1. No rige para polinomios constantes, ni para polinomios sobre cuerpos no algebraicamente cerrados, ni garantiza fórmulas constructivas generales para las raíces.

Tensión semántica

El teorema asegura existencia pero no trata la efectividad computacional ni la representación en forma cerrada de las raíces; tensión entre existencia teórica y métodos efectivos.

Síntesis

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que C es algebraicamente cerrado para polinomios de una variable: la existencia de al menos una raíz conduce a la factorización lineal completa y fundamenta numerosos resultados en álgebra y análisis.