Teorema que afirma que si existe una función inyectiva de A en B y una función inyectiva de B en A, entonces existe una bijección entre A y B; la embebibilidad mutua implica equipotencia.

Principio

Las embebibilidades mutuas pueden combinarse en una bijección descomponiendo elementos en cadenas u órbitas bajo las composiciones de las inyecciones y definiendo cuidadosamente un emparejamiento en esos componentes; la igualdad de cardinales sigue de las inyecciones mutuas sin invocar elección.

Demostración

Para mostrar que Z y 2Z tienen la misma cardinalidad, se proporcionan inyecciones Z → 2Z (n ↦ 2n) y 2Z → Z (inclusión); Cantor–Bernstein–Schroeder garantiza entonces una bijección entre Z y 2Z aunque también exista una bijección explícita sencilla.

Aplicación incorrecta

Suponer que las inyecciones en una sola dirección bastan para una bijección, o intentar aplicar el teorema a clases propias sin verificar las hipótesis de teoría de conjuntos; usarlo para reclamar la canonicidad de la bijección en lugar de su mera existencia.

Consecuencia

Proporciona una herramienta sólida para comparar cardinalidades: convierte la relación 'existe una inyección' en un orden parcial cuya antisimetría está testimoniada por biyecciones; es fundamental en la aritmética cardinal y en la teoría combinatoria de conjuntos.

Inversión

Si no existen inyecciones en ambos sentidos, Cantor–Bernstein–Schroeder no ofrece conclusión; la no-embebibilidad mutua no implica por sí sola una desigualdad estricta de cardinalidades sin estructura o prueba adicional.

Límite

Requiere inyecciones genuinas entre conjuntos; no construye una bijección canónica en general y se aplica a conjuntos (no a clases arbitrarias) dentro de los marcos estándares de teoría de conjuntos.

Tensión semántica

A menudo se contrapone con el Teorema De Cantor: CB–S puede mostrar igualdad a partir de inyecciones mutuas mientras que Cantor asegura desigualdades estrictas para potencias; ambas coexisten sin contradicción pero inciden en fenómenos distintos (embebibilidad mutua vs. no-suryectividad diagonal).

Síntesis

Cantor–Bernstein–Schroeder convierte la embebibilidad inyectiva mutua en una bijección, permitiendo establecer igualdad de cardinales a partir de dos embebibilidades unilaterales y consolidando la embebibilidad mutua como la noción correcta de igualdad de tamaño en teoría de conjuntos.