Satz, der besagt: Existieren eine injektive Abbildung von A nach B und eine injektive Abbildung von B nach A, so existiert eine Bijektion zwischen A und B; gegenseitige Einbettbarkeit impliziert Mächtigkeitserhaltung.

Prinzip

Gegenseitige Einbettungen lassen sich durch Zerlegung in Ketten oder Bahnen unter den Kompositionen der Injektionen zu einer Bijektion zusammenfügen, indem man auf diesen Komponenten ein geeignetes Zuordnungsprinzip definiert; daraus folgt die Gleichheit der Mächtigkeiten ohne Wahlaxiom.

Demonstration

Um zu zeigen, dass Z und 2Z dieselbe Mächtigkeit haben, konstruiert man Injektionen Z → 2Z (n ↦ 2n) und 2Z → Z (Inklusion); Cantor–Bernstein–Schröder liefert dann eine Bijektion zwischen Z und 2Z, obwohl auch eine einfache explizite Bijektion bekannt ist.

Fehlanwendung

Zu glauben, Injektionen in nur eine Richtung genügten für eine Bijektion, oder den Satz auf echte Klassen anzuwenden, ohne die setzhygienischen Voraussetzungen zu prüfen; ihn zu benutzen, um die Kanonizität der Bijektion zu behaupten statt nur deren Existenz.

Konsequenz

Bietet ein stabiles Werkzeug zum Vergleich von Mächtigkeiten: Es macht die Relation ‚es existiert eine Injektion‘ zu einer partiellen Ordnung, deren Antisymmetrie durch Bijektionen erfüllt wird; grundlegend für Kardinalarithmetik und kombinatorische Mengenlehre.

Umkehrung

Existieren keine Injektionen in beide Richtungen, so liefert Cantor–Bernstein–Schröder keine Aussage; wechselseitige Nicht-Einbettbarkeit impliziert nicht ohne weiteres strikte Ungleichheit der Mächtigkeiten.

Abgrenzung

Setzt echte Injektionen zwischen Mengen voraus; konstruiert im Allgemeinen keine kanonische Bijektion und gilt für Mengen (nicht beliebige Klassen) in den üblichen Rahmen der Mengenlehre.

Semantische Spannung

Steht gegenüber Cantors Satz in einem produktiven Spannungsverhältnis: CB–S kann Gleichheit aus wechselseitigen Injektionen ergeben, während Cantors Satz strikte Ungleichheiten für Potenzmengen feststellt; beide Aussagen sind vereinbar, behandeln aber unterschiedliche Aspekte (wechselseitige Einbettung vs. diagonale Nicht-Surjektivität).

Synthese

Cantor–Bernstein–Schröder wandelt wechselseitige injektive Einbettbarkeit in eine Bijektion um, wodurch Kardinalgleichheit aus zwei einseitigen Einbettungen folgt und die wechselseitige Einbettbarkeit als richtige Notion gleicher Größe in der Mengenlehre bestätigt wird.