Una función ω:[0,∞)→[0,∞) con ω(0)=0 y típicamente no decreciente tal que |f(x)−f(y)| ≤ ω(|x−y|) para todo x,y; cuantifica cómo la variación de la función está controlada por el incremento de entrada.

Principio

El módulo de continuidad es una medida cuantitativa de la continuidad uniforme: codifica la oscilación máxima permitida a cada escala y distingue comportamientos uniformes, Hölder y Lipschitz por el crecimiento de ω cerca de cero.

Demostración

Una función Hölder con exponente α tiene módulo ω(t)=C t^α; una función Lipschitz tiene módulo lineal ω(t)=L t; para una función uniformemente continua pero no Hölder se puede construir un ω sublineal que tiende a cero más despacio.

Aplicación incorrecta

Usar un módulo que no tiende a cero en 0 o no imponer monotonicidad puede producir cotas inútiles; asumir que un ω particular es óptimo sin comprobar módulos admisibles más pequeños distorsiona la regularidad real de la función.

Consecuencia

Especificar un módulo da cotas explícitas de continuidad uniforme, ayuda en comprobaciones de equicontinuidad (estilo Arzelà–Ascoli) y proporciona estimaciones dependientes de la escala útiles en aproximación y análisis de estabilidad.

Inversión

La ausencia de un módulo que se anule en 0 indica discontinuidad; reemplazar ω por un módulo más grueso (mayor) debilita el control pero puede simplificar pruebas, mientras buscar el módulo mínimo afina las afirmaciones de regularidad.

Límite

Definido respecto a la métrica del dominio y del codominio; el módulo no es único, solo importa su clase de equivalencia cerca de cero para la regularidad cualitativa, y las extensiones a valores vectoriales requieren normas compatibles.

Tensión semántica

Tensión entre módulo y constante de Lipschitz: esta última es un módulo lineal especial. También hay tensión con la continuidad puntual: el módulo es global/uniforme, mientras que los módulos puntuales pueden variar con la localización.

Síntesis

El módulo de continuidad es una cota dependiente de la escala ω(t) que mide la oscilación máxima a la escala t; eligiendo u estimando ω se clasifica la fuerza de continuidad (Lipschitz, Hölder, uniforme) y se obtiene control cuantitativo útil en análisis.