Eine Funktion ω:[0,∞)→[0,∞) mit ω(0)=0 und meist nichtabnehmend, so daß |f(x)−f(y)| ≤ ω(|x−y|) für alle x,y gilt; sie quantifiziert, wie die Funktionsvariation durch Eingangsinkremente kontrolliert wird.

Prinzip

Das Stetigkeitsmodul ist ein quantitatives Maß der gleichmäßigen Stetigkeit: es codiert die maximal erlaubte Oszillation auf jeder Skala und unterscheidet uniformes, Hölder- und Lipschitz-Verhalten durch das Wachstum von ω nahe Null.

Demonstration

Eine Hölder-stetige Funktion mit Exponent α hat Modul ω(t)=C t^α; eine Lipschitz-Funktion hat lineares Modul ω(t)=L t; für eine gleichmäßig stetige, aber nicht Hölder-Funktion kann man ein unterlineares ω konstruieren, das langsamer gegen Null geht.

Fehlanwendung

Ein Modul zu verwenden, das nicht gegen Null in 0 geht, oder Monotonie zu vernachlässigen, liefert unbrauchbare Schranken; ohne Prüfung, ob ein kleineres zulässiges Modul existiert, falsifiziert man leicht die tatsächliche Regularität.

Konsequenz

Die Festlegung eines Moduls liefert explizite gleichmäßige Stetigkeitsabschätzungen, hilft bei Gleichgradigkeitsprüfungen (Arzelà–Ascoli) und liefert maßstabsabhängige Schätzungen, nützlich in Approximation und Stabilitätsanalyse.

Umkehrung

Das Fehlen eines Moduls, das in 0 verschwindet, deutet auf Unstetigkeit hin; die Ersetzung durch ein gröberes (größeres) ω schwächt die Kontrolle, kann aber Beweise vereinfachen, während das Streben nach minimalem Modul Regularitätsaussagen schärft.

Abgrenzung

Definiert relativ zur Metrik auf Definitions- und Zielraum; das Modul ist nicht eindeutig, nur seine Äquivalenzklasse nahe Null bestimmt die qualitative Regularität, und Erweiterungen auf werte in Vektorräumen erfordern kompatible Normen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Modul und Lipschitz-Konstante: Letztere ist ein spezielles lineares Modul. Es besteht ferner Spannung zur punktweisen Stetigkeit: das Modul ist global/gleichmäßig, punktweise Modi können ortsabhängig sein.

Synthese

Das Stetigkeitsmodul ist eine skalenabhängige Schranke ω(t), die die maximale Oszillation auf der Skala t misst; durch Wahl oder Abschätzung von ω klassifiziert man die Stetigkeitsstärke (Lipschitz, Hölder, gleichmäßig) und erhält quantitatives Kontrollwerkzeug für die Analyse.