La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión de su espacio propio: el subespacio de vectores v tales que (A − λI)v = 0. Cuenta el número máximo de vectores propios linealmente independientes asociados a ese valor propio.

Principio

Multiplicidad geométrica = dim ker(A − λI); es al menos 1 para un valor propio λ y nunca excede la multiplicidad algebraica de λ.

Demostración

Para A = [[2,1,0],[0,2,1],[0,0,2]] el polinomio característico es (λ−2)^3, por lo que la multiplicidad algebraica de 2 es 3, pero ker(A−2I) es de dimensión 1 (los vectores propios son múltiplos de [1,0,0]^T), por tanto la multiplicidad geométrica de 2 es 1.

Aplicación incorrecta

Suponer que la multiplicidad geométrica es igual a la algebraica sin comprobarlo; contar vectores propios generalizados como parte del espacio propio; o esperar que vectores propios de valores propios distintos sean en general linealmente dependientes.

Consecuencia

Las multiplicidades geométricas determinan cuántos vectores propios independientes hay disponibles; una matriz es diagonalizable si y solo si para cada valor propio su multiplicidad geométrica iguala su multiplicidad algebraica.

Inversión

La multiplicidad geométrica máxima ocurre cuando coincide con la multiplicidad algebraica; el caso opuesto es un valor propio defectuoso cuya multiplicidad geométrica es estrictamente menor.

Límite

Definida respecto al campo de base y sólo para valores propios que pertenecen a ese campo; en extensiones del campo el espacio propio y su dimensión pueden cambiar. En espacios de dimensión infinita los espacios propios pueden ser de dimensión infinita y requieren tratamiento distinto.

Tensión semántica

Tensión con la multiplicidad algebraica: la algebraica es un concepto de conteo de raíces, la geométrica es una dimensión lineal; ambas se restringen mutuamente pero solo se relacionan por la desigualdad 1 ≤ geométrica ≤ algebraica.

Síntesis

La multiplicidad geométrica mide la independencia lineal disponible en forma de vectores propios para un valor propio dado; gobierna la dimensión de los espacios propios y, con la multiplicidad algebraica, controla la diagonalizabilidad y la estructura de Jordan.