Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Dimension seines Eigenraums: der Unterraum aller Vektoren v mit (A − λI)v = 0. Sie zählt die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.

Prinzip

Geometrische Vielfachheit = dim ker(A − λI); sie ist für einen Eigenwert λ mindestens 1 und überschreitet niemals die algebraische Vielfachheit von λ.

Demonstration

Für A = [[2,1,0],[0,2,1],[0,0,2]] ist das charakteristische Polynom (λ−2)^3, die algebraische Vielfachheit von 2 ist also 3, aber ker(A−2I) ist eindimensional (Eigenvektoren sind Vielfache von [1,0,0]^T), folglich ist die geometrische Vielfachheit von 2 gleich 1.

Fehlanwendung

Anzunehmen, geometrische Vielfachheit gleiche der algebraischen ohne Prüfung; verallgemeinerte Eigenvektoren zum Eigenraum zu zählen; oder zu erwarten, dass Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte im Allgemeinen linear abhängig seien.

Konsequenz

Geometrische Vielfachheiten bestimmen, wie viele unabhängige Eigenvektoren zur Verfügung stehen; eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist.

Umkehrung

Die maximale geometrische Vielfachheit tritt ein, wenn sie der algebraischen Vielfachheit entspricht – das Gegenstück ist ein defekter Eigenwert, bei dem die geometrische Vielfachheit strikt kleiner ist.

Abgrenzung

Definiert bezüglich des Grundkörpers und nur für Eigenwerte, die in diesem Körper liegen; bei Körpererweiterung kann sich der Eigenraum und seine Dimension ändern. In unendlichdimensionalen Räumen können Eigenräume unendliche Dimension haben und benötigen gesonderte Behandlung.

Semantische Spannung

Spannung zur algebraischen Vielfachheit: algebraisch ist ein Nullstellen‑Zählbegriff, geometrisch ist ein linearalgebraischer Dimensionsbegriff; beide begrenzen einander, bestimmen sich aber nur durch die Ungleichung 1 ≤ geometrisch ≤ algebraisch.

Synthese

Die geometrische Vielfachheit misst die lineare Unabhängigkeit der Eigenvektoren zu einem Eigenwert; sie bestimmt die Dimension der Eigenräume und regelt zusammen mit der algebraischen Vielfachheit Diagonalisierbarkeit und Jordanstruktur.