La multiplicidad algebraica de un valor propio es la multiplicidad de ese escalar como raíz del polinomio característico de un operador lineal o matriz; cuenta cuántas veces aparece el factor (λ − λ0) en el polinomio característico.

Principio

Contar las apariciones del valor propio en el polinomio característico: si polcar(λ) = (λ − λ0)^m · q(λ) con q(λ0) ≠ 0, entonces la multiplicidad algebraica de λ0 es m.

Demostración

Para A = diag(2,2,2,−1) el polinomio característico es (λ−2)^3(λ+1); la multiplicidad algebraica de 2 es 3 porque (λ−2) aparece elevado a la tercera potencia.

Aplicación incorrecta

Confundir la multiplicidad algebraica con la dimensión del espacio propio (multiplicidad geométrica) y concluir diagonalizabilidad únicamente por conteos algebraicos; o suponer que las multiplicidades algebraicas se conservan al extender el campo sin comprobar la factorización del polinomio.

Consecuencia

Las multiplicidades algebraicas determinan los tamaños y la cantidad de bloques de Jordan en la forma canónica de Jordan y, junto con las multiplicidades geométricas, deciden la diagonalizabilidad y la estructura de los espacios propios generalizados.

Inversión

Un valor propio simple es el caso inverso: multiplicidad algebraica igual a 1, lo que significa que la raíz es simple del polinomio característico.

Límite

Definida con respecto al polinomio característico sobre un campo elegido; sobre campos no algebraicamente cerrados un valor propio puede no aparecer como raíz hasta extender el campo. Se aplica a endomorfismos de dimensión finita; los operadores en dimensión infinita requieren una teoría distinta de multiplicidad espectral.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la multiplicidad geométrica; la multiplicidad algebraica es un conteo polinómico, la multiplicidad geométrica es una dimensión lineal — coinciden solo en casos particulares.

Síntesis

La multiplicidad algebraica es el conteo polinómico de cuántas veces aparece un valor propio como raíz del polinomio característico; fija restricciones sobre el tamaño de los bloques de Jordan y, junto con la multiplicidad geométrica, controla la diagonalizabilidad y la estructura espectral del operador.