Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die Vielfachheit dieses Skalaren als Nullstelle des charakteristischen Polynoms einer linearen Abbildung oder Matrix; sie zählt, wie oft der Faktor (λ − λ0) im charakteristischen Polynom vorkommt.

Prinzip

Zähle das Vorkommen des Eigenwerts im charakteristischen Polynom: falls charpoly(λ) = (λ − λ0)^m · q(λ) mit q(λ0) ≠ 0, dann ist die algebraische Vielfachheit von λ0 gleich m.

Demonstration

Für A = diag(2,2,2,−1) ist das charakteristische Polynom (λ−2)^3(λ+1); die algebraische Vielfachheit von 2 ist 3, weil (λ−2) in dritter Potenz erscheint.

Fehlanwendung

Die algebraische Vielfachheit mit der Dimension des Eigenraums (geometrische Vielfachheit) gleichzusetzen und daraus Diagonalisierbarkeit abzuleiten; oder anzunehmen, algebraische Vielfachheiten blieben bei Körpererweiterungen unverändert ohne Faktorisierungsprüfung.

Konsequenz

Algebraische Vielfachheiten bestimmen die Größen und Anzahl der Jordanblöcke in der Jordan-Normalform und entscheiden zusammen mit den geometrischen Vielfachheiten über Diagonalisierbarkeit und die Struktur der verallgemeinerten Eigenräume.

Umkehrung

Ein einfacher Eigenwert ist der umgekehrte Fall: algebraische Vielfachheit gleich 1, also eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

Abgrenzung

Definiert bezüglich des charakteristischen Polynoms über einem gewählten Körper; über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern kann ein Eigenwert erst in einer Körpererweiterung auftreten. Gilt für endlichdimensionale Endomorphismen; bei unendlichdimensionalen Operatoren ist eine andere Spektralmultiplikitätstheorie erforderlich.

Semantische Spannung

Wird häufig mit der geometrischen Vielfachheit verwechselt; algebraische Vielfachheit ist ein Polynom‑/Nullstellenbegriff, geometrische Vielfachheit ein linearalgebraischer Dimensionsbegriff — sie stimmen nur in Spezialfällen überein.

Synthese

Die algebraische Vielfachheit ist die polynomial‑basierte Zählung, wie oft ein Eigenwert als Nullstelle des charakteristischen Polynoms auftritt; sie legt die Grenzen für Jordanblockgrößen fest und bestimmt zusammen mit der geometrischen Vielfachheit Diagonalisierbarkeit und die innere Struktur des Spektrums.