Un complejo de cadenas de módulos proyectivos (u objetos proyectivos en una categoría abeliana) junto con una cuasi‑isomorfía (o aumentación) desde el complejo a un módulo dado M, que es exacto salvo en el grado cero; se usa para calcular fonctores derivados como Ext y Tor.

Principio

Sustituir un módulo por un complejo proyectivo homológicamente equivalente para que los fonctores derivados a la derecha se puedan calcular aplicando el funtor a la resolución y tomando la homología; los módulos proyectivos permiten que Hom(–,–) preserve la exactitud en los lugares adecuados.

Demostración

Para el módulo Z/n sobre Z se puede construir una resolución proyectiva (incluso libre) ... → Z → Z → Z/n → 0 donde las aplicaciones de frontera son multiplicación por n y las inclusiones apropiadas; aplicar Hom_Z(–, A) a esta resolución calcula Ext^i_Z(Z/n, A).

Aplicación incorrecta

Usar un complejo no proyectivo y esperar que Hom o el tensor preserven la exactitud como si fuera proyectivo, o suponer que una resolución debe tener longitud finita en categorías que no garantizan dimensión global finita; tales errores conducen a cálculos erróneos de fonctores derivados.

Consecuencia

Una resolución proyectiva proporciona un método explícito para calcular fonctores derivados: aplicar un funtor izquierdamente exacto a la resolución y tomar la homología recupera los fonctores derivados a la derecha, por lo que los grupos Ext y Tor se hacen computables a partir de las resoluciones elegidas.

Inversión

Noción dual: resolución inyectiva. Donde las resoluciones proyectivas resuelven objetos por la izquierda usando proyectivos y se emplean para calcular fonctores derivados a la derecha de fonctores izquierdamente exactos, las resoluciones inyectivas resuelven por la derecha y calculan fonctores derivados a la izquierda de fonctores derechamente exactos.

Límite

Requiere que la categoría abeliana ambiente tenga suficientes proyectivos para que los módulos admitan resoluciones proyectivas; en categorías sin suficientes proyectivos son necesarias otras técnicas (generadores proyectivos, resoluciones planas o el uso de categorías derivadas con modelos distintos).

Tensión semántica

Tensión entre resoluciones libres y proyectivas: las resoluciones libres son proyectivas pero a veces más voluminosas; tensión entre resoluciones mínimas (cuando existen) y resoluciones proyectivas arbitrarias que pueden ser redundantes pero convenientes para el cálculo.

Síntesis

Una resolución proyectiva es un complejo proyectivo cuasi‑isomorfo a un módulo M que sustituye a M por un objeto homológicamente manejable; es el instrumento estándar en álgebra homológica para calcular fonctores derivados, convirtiendo propiedades locales de exactitud en grupos de homología computables.