Ein Kettenkomplex projektiver Moduln (oder projektiver Objekte in einer abelschen Kategorie) zusammen mit einer Quasiisomorphie (oder Augmentierung) auf ein gegebenes Modul M, der bis auf Grad null exact ist; verwendet zur Berechnung abgeleiteter Funktoren wie Ext und Tor.

Prinzip

Ein Modul durch einen projektiven Komplex ersetzen, der homologisch äquivalent ist, sodass rechtsabgeleitete Funktoren durch Anwenden eines Funktors auf die Auflösung und anschließendes Bilden der Homologie berechnet werden können; projektive Moduln sichern die Exactness von Hom(–,–) an passenden Stellen.

Demonstration

Für das Modul Z/n über Z kann man eine projektive (sogar freie) Auflösung konstruieren ... → Z → Z → Z/n → 0, wobei die Randabbildungen Multiplikation mit n und geeignete Inklusionen sind; Anwenden von Hom_Z(–, A) auf diese Auflösung berechnet Ext^i_Z(Z/n, A).

Fehlanwendung

Einen nicht‑projektiven Komplex verwenden und erwarten, dass Hom oder Tensor die Exactness erhalten, als wäre er projektiv, oder annehmen, eine Auflösung müsse in Kategorien ohne endliche globale Dimension endlich sein; solche Fehler führen zu falschen Berechnungen abgeleiteter Funktoren.

Konsequenz

Eine projektive Auflösung liefert eine explizite Methode zur Berechnung abgeleiteter Funktoren: Einen links-exakten Funktor auf die Auflösung anwenden und die Homologie nehmen ergibt die rechts-abgeleiteten Funktoren, sodass Ext- und Tor-Gruppen aus gewählten Auflösungen berechenbar werden.

Umkehrung

Dualbegriff: injektive Auflösung. Während projektive Auflösungen Objekte von links mit Projektiven auflösen und zur Berechnung rechtsabgeleiteter Funktoren links-exakter Funktoren dienen, lösen injektive Auflösungen von rechts auf und berechnen linksabgeleitete Funktoren rechts-exakter Funktoren.

Abgrenzung

Erfordert, dass die umgebende abelsche Kategorie genügend Projektive besitzt, damit beliebige Module projektive Auflösungen haben; in Kategorien ohne genügend Projektive sind andere Techniken (projektive Erzeuger, flache Auflösungen oder die Benutzung der abgeleiteten Kategorien mit anderen Modellen) nötig.

Semantische Spannung

Spannung zwischen freien und projektiven Auflösungen: Freie Auflösungen sind projektiv, können aber größer sein; Spannung zwischen minimalen Auflösungen (falls existent) und beliebigen projektiven Auflösungen, die redundant, aber rechenpraktisch sein können.

Synthese

Eine projektive Auflösung ist ein projektiver Kettenkomplex, der quasi-isomorph zu einem Modul M ist und M durch ein homologisch besser handhabbares Objekt ersetzt; sie ist das Standardwerkzeug der homologischen Algebra zur Berechnung abgeleiteter Funktoren und wandelt lokale Exactechtsverhältnisse in berechenbare Homologiegruppen um.