Una paradoja autorreferencial que surge del uso informal de «definible en menos de N palabras», típicamente ilustrada por la frase «el menor entero positivo no definible en menos de once palabras», que produce una contradicción al nombrar el número supuestamente innombrable.

Principio

La idea organizadora es que la vaguedad en la definibilidad en lenguaje natural, combinada con la autorreferencia, permite que una sola descripción cambie la extensión que pretende designar, generando una contradicción de tipo diagonal entre sintaxis y extensión semántica pretendida.

Demostración

Considere la descripción en inglés 'the smallest positive integer not definable in under eleven words'. Si esa descripción efectivamente designa un número, lo hace en menos de once palabras, contradiciendo su propia restricción; si no designa ninguno por vaguedad, la noción informal de 'definible en menos de once palabras' resulta inestable.

Aplicación incorrecta

Tratar la paradoja como evidencia de que los números naturales son inconsistentes o que la aritmética falla; o aplicar la resolución informal a sistemas formales sin distinguir la definibilidad semántica informal de la demostrabilidad formal.

Consecuencia

Obliga a separar la definibilidad informal en lenguaje natural de los codificados formales, motivando codificaciones sintácticas precisas de 'descripción' y evitando especificaciones autorreferenciales no restringidas en el discurso informal.

Inversión

Si se prohíbe la autorreferencia o se interpreta 'definible' dentro de un lenguaje formal fijo, la paradoja desaparece; de forma inversa, permitir solo descripciones estrictamente estratificadas impide el movimiento diagonal que crea la contradicción.

Límite

Se aplica a nociones informales de 'definible' y a descripciones en lenguaje natural; no se traslada automáticamente a una teoría formal sin formalizar y codificar con precisión la 'definibilidad' en la sintaxis y semántica de dicha teoría.

Tensión semántica

Existe tensión con la paradoja del mentiroso y la paradoja de Richard: Berry enfatiza la vaguedad de 'definible' mientras que el mentiroso aborda el predicado de verdad; es necesario distinguir la vaguedad de los recursos descriptivos de la de los predicados semánticos formales.

Síntesis

La paradoja de Berry pone de relieve que las afirmaciones informales e imprecisas sobre lo que puede nombrarse en lenguaje natural pueden contradecirse cuando se refieren a la clase de objetos describibles; resolverla exige formalizar la definibilidad o restringir la autorreferencia.