Ein autorreferenzielles Paradoxon, das aus der informellen Verwendung von ‚in unter N Wörtern definierbar‘ entsteht, typischerweise illustriert durch ‚die kleinste positive ganze Zahl, die nicht in weniger als elf Wörtern definierbar ist‘, wodurch ein Widerspruch entsteht, weil die Beschreibung genau diese Zahl benennt.

Prinzip

Die ordnende Idee ist, dass Vagheit in natürlicher Sprachdefinierbarkeit zusammen mit Autorreferenz es einer einzelnen Beschreibung erlaubt, die Extension zu verändern, die sie zu bezeichnen versucht, und so einen diagonalartigen Widerspruch zwischen Syntax und intendierter Semantik zu erzeugen.

Demonstration

Betrachte die englische Beschreibung ‚the smallest positive integer not definable in under eleven words‘. Wenn diese Beschreibung tatsächlich eine Zahl bestimmt, dann tut sie dies in weniger als elf Wörtern und widerspricht damit ihrer eigenen Beschränkung; wenn sie wegen Vagheit nichts bestimmt, wird die informelle Idee von ‚in unter elf Wörtern definierbar‘ instabil.

Fehlanwendung

Den Paradox als Beweis dafür zu benutzen, dass die natürlichen Zahlen inkonsistent seien oder dass die Arithmetik zusammenbricht; oder die informelle Lösung auf formale Systeme anzuwenden, ohne informelle definierbarkeit von formaler Beweisbarkeit zu unterscheiden.

Konsequenz

Er zwingt dazu, zwischen informeller natürlicher Sprachdefinierbarkeit und formalen Codierungen zu trennen, motiviert präzise syntaktische Codierungen von ‚Beschreibung‘ und warnt vor unbeschränkter autorreferenzieller Spezifikation in informellen Aussagen.

Umkehrung

Wenn man Autorreferenz verbietet oder ‚definierbar‘ innerhalb einer festen formalen Sprache interpretiert, verschwindet das Paradoxon; umgekehrt verhindert die Zulassung nur streng geschichteter Beschreibungen den diagonalisierenden Zug, der die Widersprüchlichkeit erzeugt.

Abgrenzung

Betrifft informelle Vorstellungen von ‚definierbar‘ und natürliche Sprachbeschreibungen; es überträgt sich nicht automatisch auf eine formale Theorie, sofern ‚Definierbarkeit‘ nicht präzise in deren Syntax und Semantik formalisiert wird.

Semantische Spannung

Spannung besteht zu Lügner-Paradoxon und Richards-Paradoxon: Berry betont die Vagheit von ‚definierbar‘, während der Lügner-Prädikate der Wahrheit betrifft; man muss die Vagheit beschreibender Mittel von formalen semantischen Prädikaten unterscheiden.

Synthese

Das Berry-Paradoxon macht deutlich, dass informelle, unpräzise Aussagen darüber, was in der natürlichen Sprache benannt werden kann, sich selbst unterminieren können, wenn sie auf die Klasse der Beschreibbaren referieren; die Lösung erfordert Formalisierung der Definierbarkeit oder Einschränkung der Autorreferenz.